Sunday, November 18, 2007

Frege e la scrittura ideografica di generalità ed eguaglianza

Frege aggiunge che non si possono sostituire le lettere di funzione con altre che non sono impiegate come lettere di funzione : deve sempre esserci un posto-argomento per accogliere la "alpha". Si potrebbe pensare semplicemente "Psi" = X. Tale scrittura può andare bene fintanto che i concetti sono solo indicati, ma una notazione davvero idonea deve adattarsi a tutti i casi.
Si prenda ad es. la funzione (X-al quadrato = 1) che ha per ogni argomento lo stesso valore di verità della funzione [(x+1)-al quadrato = 2(x+1)]. Vale a dire, sotto il concetto 'ciò che è più piccolo di un'unità del numero il cui quadrato è uguale al suo doppio' cade ogni oggetto che cade sotto il concetto 'radice quadrata di 1' e viceversa.
Si potrebbe esprimere questo pensiero come segue
(alfa-al-quadrato = 1) è intercambiabile con ((alfa + 1)-al-quadrato = 2(alfa + 1))

Qui, dice Frege, abbiamo in verità una relazione di secondo livello che corrisponde al'identità (completa coincidenza) nel caso degli oggetti.
Se scriviamo (per tutti gli alfa)(alfa-al-quadrato = 1) = ((alfa + 1)-al-quadrato = 2(alfa + 1)), abbiamo espresso sostanzialmente lo stesso pensiero, concepito come la generalità di un'equazione tra valori di funzioni. Abbiamo la stessa relazione di secondo livello, abbiamo il segno di eguaglianza, ma ciò di per sè non basta a designare questa relazione, ma solo in un unione con la designazione della generalità. Abbiamo essenzialmente una generalità, non un eguaglianza. Invece in
[epsilon(epsilon-al-quadrato = 1)] = [alfa((alfa + 1)-al-quadrato = 2(alfa + 1))]
abbiamo sì un'uguaglianza, ma non fra concetti (il che è impossibile), ma fra oggetti ossia fra estensioni di concetti.


Perchè mai ci deve essere un posto per la variabile nell'equivalenza tra concetti ? Se l'equivalenza tra concetti vale per tutti i valori della variabile che bisogno c'è di inserire per ogni termine di concetto il posto vuoto per la variabile ? Come al solito Frege presuppone ciò che vuole dimostrare. La generalità inoltre è già introdotta dall'uso della variabile (come avviene in matematica) e magari può essere negata da un altro simbolo (tipo un quantificatore particolare), per cui la locuzione "Per tutti gli x..." può risultare pleonastica. Nel caso dei concetti l'equivalenza tra i concetti già di per sè ha la caratteristica della generalità, altrimenti per indicare una coincidenza parziale si userebbero le classi (le estensioni dei concetti). Inoltre nel caso di "(per tutti gli alfa)[(alfa-al-quadrato = 1) = ((alfa + 1)-al-quadrato = 2(alfa + 1))] ", a parte la pleonasticità di "per tutti gli alfa", c'è da precisare che si tratta di equivalenza tra relazioni di identità e dunque di coimplicazione tra funzioni proposizionali che sono diverse dalle identità tra oggetti, ma sono diverse anche dalle identità tra concetti (che forse sono solo parte delle funzioni, ma non sarebbero le funzioni stesse). O meglio, i concetti sono a metà tra gli oggetti e le funzioni (e perciò le proposizioni) e dunque sono traducibili in termini di oggetti ed in termini proposizionali. Dire infine che le estensioni di concetti (le classi) siano oggetti e non concetti non è arbitrario ? Non presuppone già il carattere rigido della distinzione tra concetti e oggetti ?

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