Complessioni e relazioni in Meinong

Meinong tratta poi di complessioni, collettivi e relazioni. Egli dice:

• Una complessione è più che il collettivo degli elementi. Se x e y formano una complessione, esse sono parti di un tutto e cioè esse devono avere un nesso che le rende parti di un tutto e dunque esse sono elementi di una complessione grazie ad una relazione R esistente tra di loro
• Se x e y stanno reciprocamente nella relazione R, questo non può voler dire che accanto ai dati x e y assoluti ci sia un altro dato R che forma un collettivo con essi. Piuttosto x e y appartengono ad un tutto per mezzo della relazione R in cui stanno. Se dunque tra x e y sussiste una relazione R, con ciò è data una complessione tra i membri della relazione presi come elementi e chi voglia rappresentare x e y nella relazione R, non può farlo altrimenti che rappresentandoli in complessione.
• Non è la coincidenza di due stati di fatto ( in virtù dell'identità dei singoli membri della complessione con i singoli membri della relazione ) connessi tra loro per legge di natura, ma autonomi logicamente l'uno dall'altro. Meinong giustamente dice che la relazione è parte costitutiva della complessione (totalità) . Questo rapporto di parziale identità e reciproca non indipendenza si può chiamare "coincidenza parziale".
• Il collettivo è un complesso di insieme e cioè un peculiare oggetto di ordine superiore. Chi ha la rappresentazione " 4 noci " ha una rappresentazione diversa da chi ha quattro rappresentazioni di "una noce". Il complesso è un oggetto composto da più oggetti.
• Sia la relazione che la complessione sono considerate giustamente indipendenti dalla rappresentazione. La relazione è la complessione (totalità) considerata dal punto di vista dei membri o meglio la complessione è la relazione presa insieme con i due membri. La complessione non è solo la relazione + i membri (questa sarebbe infatti il collettivo di x, y ed R).
• In realtà x e y stanno rispetto ad R in una relazione R1 (x) ed R2 (y). E quanto si è detto di x, y, ed R lo si può dire anche di x, R e R1 o di y, R, R2. Per apprendere x e y nella relazione R bisognerebbe (se questa apprensione avvenisse attraverso la sola rappresentazione) rappresentare anche x, R e R1 e così all' infinito.
• Per apprendere complessioni (totalità) è necessario qualcosa di più che il rappresentare, ma è necessaria l'assunzione ed il giudizio.
• Se il principio di coincidenza parziale vale per R, deve giustamente valere anche per R1 e R2 e tutte le rimanenti infinite relazioni implicate nel concetto di complessione (totalità). Anche se in ogni totalità spetta un significato molto più spiccato alla relazione R che non ad R1 ed R2
• Le relazioni che una complessione include in sè, per quanto essenziali, non contano mai come suoi elementi, ma al di fuori di R, nella suddetta serie infinita, non si trova alcuna relazione tale da non annoverare tra i suoi membri almeno una di quelle relazioni.
• Anche le relazioni tipo R1 e R2 hanno le loro complessioni coincidenti, quelle cioè nei cui confronti esse sono relazioni principali (ad es. R1 coincide con una complessione formata da x ed R)
• Nel caso di una complessione con x, y e z, questa non sussiste immediatamente, ma prima come complessione tra due complessioni di ordine inferiore (x e y) e (y e z) facendo coincidere la prima con R1 e la seconda con R2, mentre poi nella stessa complessione iniziale (x, y, z) corrisponde una relazione R tra le due complessioni inferiori suddette prese come membri.
• L'inserimento di complessioni tra la complessione data e gli elementi dati è artificiosa rispetto all'esperienza. Ad es. immaginiamo che data una pluralità di sei elementi, chi vorrebbe credere che ogni volta si uniscono prima a due a due gli obietti in una complessione e poi due per volta le tre coppie ottenute, le quali solo allora costituiscono gli inferiora immediati del contenuto della complessione "sei"? Non è insomma vero che una relazione abbia bisogno di due membri e non possa sussistere con un membro solo o più di due membri.... Per rappresentare sei cose come "sei" di numero, le si può pensare in una complessione che essenzialmente è caratterizzata da un'unica relazione in cui i sei oggetti vengono pensati connessi tra loro.
• Erdmann sostiene che se si vuole rappresentare A e B in relazione tra loro, sia A che B devono essere dati alla coscienza, ma il mettere insieme da parte della coscienza non implica necessariamente una coscienza del mettere insieme. Quest'ultima si ha solo quando tratteniamo ciascuno dei contenuti nella coscienza (e così si instaura la relazione) : la relazione si ha anche quando i due oggetti esternamente sono lontani l'uno dall'altro nello spazio. Dunque (afferma Meinong) tale tesi conferma la necessità di distinguere tra collettivo (il mettere insieme della coscienza) e complessione (la coscienza del mettere insieme).
• Nel collettivo l'unità della molteplicità è generica e non determinata, mentre nella complessione è determinata. Il collettivo è un complesso ideale, una mera compresenza di contenuti senza una connessione reale, che non sia quella posta dalla coscienza.
• Va fatta una distinzione tra oggetti reali che per loro natura potrebbero esistere (ad es. un certo libro) ed oggetti ideali che non si possono definire a rigore come esistenti (es. "mancanza") . Si pensi ad es. ad una relazione come la somiglianza che sussiste, ma non esiste. Il numero "4" come ogni altro numero sta nella stessa situazione. L'oggetto reale è percepibile, quello ideale no.
• Ci sono relazioni reali (rapporti) e relazioni ideali, complessioni reali (complessioni di rapporti) e complessioni ideali. Inoltre la relazione ad es. di diversità tra due colori A e B è diversa da quella di congruenza tra il colore A ed il luogo dove si trova. Tale colore A potrebbe trovarsi anche in un altro luogo e dunque la relazione non è necessaria. Invece la relazione tra i due colori A e B è necessariamente sempre la stessa. Si dice, afferma Meinong in questo caso, che A e B non sono solo membri della relazione di diversità, ma anche suoi fondamenti, data la loro specifica natura. Fondamenti di una relazione sono dunque quegli inferiora che hanno coi superiora un rapporto logicamente necessario. La fondazione fa per gli oggetti ideali quello che la percezione fa con gli oggetti reali. Tuttavia per quanto riguarda la relazione di diversità (superius) discenda necessariamente dai due colori (inferiora), questi possono fondare anche altri superiora, cioè i due colori tra loro possono avere anche altri tipi di relazione (es. A e B sono diversi, ma sono anche "due").
• Va distinto a tal proposito il percepire dal giudicare . Anche il percepire è un fare, ma gli elementi di base sono dati. Il giudicare invece deve elaborare anche il materiale delle proprie rappresentazioni, volte alla conoscenza della sussistenza di un oggetto ideale.

A queste tesi di Meinong vale la pena fare le seguenti osservazioni:

1. Per collettivo Meinong intende la mera somma dei suoi elementi ?
2. La relazione con cui i termini sono parti di un tutto è la stessa relazione che hanno tra loro ? O meglio, la relazione che i termini hanno tra loro costituisce la complessione ?
3. Meinong nota che x e y, se in relazione R, costituiscono un tutto ed è sbagliato supporre che R sia una terza cosa oltre x e y. Se R fosse intesa atomisticamente si scatenerebbe un regressus ad infinitum della relazione (come aveva già notato Bradley) e dunque una relazione tra due termini presuppone l'ingresso in una dimensione e l'esistenza di una prospettiva olistica.
4. Per Meinong giustamente relazione e totalità si coimplicano. Il termine coimplicazione è più adatto di "coincidenza parziale" a rendere il carattere logico della relazione tra i due concetti.
5. Perchè il collettivo non è organico ? Perchè tre elementi tra loro non hanno un rapporto specifico e caratterizzante ?
6. Meinong dice giustamente che nel regressus ad infinitum non si ravvisa una vera e propria difficoltà teoretica : La situazione è analoga a quella della suddivisione di un segmento che comporta una serie infinita di segmenti sempre più piccoli.
7. La R è equivalente alla complessione di x e y, mentre la R1 è equivalente alla complessione di x e R. Dunque ogni relazione coincide parzialmente con la complessione che essa costituisce per cui la primazia di R nel regressus ad infinitum è solo apparente o meglio solo fenomenologicamente emergente.
8. Meinong poi continua a sbagliare dicendo che la relazione R nei confronti delle restanti relazioni assume una posizione di rilievo per il fatto di essere la sola a fondarsi su membri identici agli elementi della complessione in questione. Inutile dire che R1 e R2 non si devono rapportare a xRy. Perciò anche R1 si fonda su membri identici (x e R) agli elementi della complessione in questione che in questo caso è xR1R e non xRy
9. R è la relazione fenomenologicamente emergente, ma dal punto di vista ontologico le relaizoni debbono essere equivalenti agli elementi, altrimenti non potrebbero essere a loro volta termini di ulteriori relazioni con detti elementi ( ad es. R non potrebbe essere termine di un'ulteriore relazione con x)
10. Bisogna pensare che per Meinong la relazione R è primaria rispetto alla complessione formata da x e y. Ma se R può essere termine di relazione sia con x che con y, la complessione formata con x e y non è al tempo stesso formata da x, y e R ? E dunque la primalità della R in tal caso non è compromessa ? Forse Meinong direbbe che, poichè ogni relazione implica una complessione (totalità) , la presenza di R come elemento e dunque le relazioni tra x ed R e y ed R costituirebbero altrettante totalità (complessioni) . Ma allora qual è il rapporto tra le totalità (x, R) e (y, R) con la totalità (x, y) ? Questo resta da chiarire.
11. In realtà le complessioni inferiori, nel caso di una complessione formata da x, y e z, sono tre e non due, dovendosi aggiungere a (x, y) e (y, z) anche (x, z) che Meinong dimentica senza dare giustificazione. Inoltre questa soluzione con tre elementi si applica anche alle complessioni con due termini ed una relazione.
12. Quella che Meinong chiama complicazione è strutturalmente speculare alla duttilità ontologica dei numeri e delle molteplicità per cui sei elementi si possono dividere in diversi sottoinsiemi (se pensiamo alla sola costituzione additiva) : ad es. (2+2+2), (3+3), (2+4), (1+5) etc. O si pensi alle combinazioni possibili con sei lettere (a,b, c, d, e, f,) ; possono essere (a,b) (a,c) etc etc. Ragione per cui tale presunta complicazione è cognitivamente necessaria ed al tempo stesso ricca di sviluppi. Meinong elaborando quest'argomento ha sfiorato la questione degli insiemi-potenza e degli insiemi-partizione.
13. Seppure al possibilità di una relazione con un solo termine esista, essa dialetticamente rende questo termine duplicabile in due termini, mentre una relazione tra più membri è divisibile in una molteplicità di relazioni binarie. Per cui è proprietà apriori della relazione il costituire una sintesi di due termini e cioè l'emergenza di un terzo termine a partire da due. La relazione tra 6 oggetti è a sua volta divisibile in più relazioni del tipo già visto alla prop.12.
14. Il collettivo è la molteplicità, l'esplicazione, l'estensione. La complessione è l'unità della molteplicità, la complicatio , l'intensione. La complessione è il concetto-classe di Russell (anche se non ne ha la generalità) ed è ad un livello logico-linguistico superiore del collettivo.
15. Erdmann confonde la realtà logico-ontologica (totalità o complessione) con l'apparenza fenomenologico-epistemica (la coscienza) . In questo modo la coscienza del mettere insieme diventa altro dal mettere insieme della coscienza (contrapponendosi come fenomeno a fenomeno), mentre invece bisogna evidenziare il passaggio logico tra un livello e l'altro e cioè la necessità del legame tra collettivo e complessione (molteplicità e totalità), dove il primo presuppone il secondo. Questo legame è difficile ad instaurarsi con l'interpretazione idealistica (o meglio soggettivistica) della dialettica che elabora Erdmann. Questi non tiene conto del fatto che la molteplicità presuppone l'unità della molteplicità. Presentando l'unità come coscienza Erdmann rimuove il rapporto dialettico tra opposti (unità e molteplicità) e lo rende puramente esteriore. Comunque Meinong con questa distinzione parallelamente a Frege e Russell tematizza la pluralità ascensiva dei livelli logico-linguistici.
16. Meinong confonde l'articolazione e la concretezza con la realtà (o il grado di realtà) come pure l'indeterminazione negativa con l'indeterminazione positiva. Una cosa è la distinzione tra molteplicità e l'unità della molteplicità, altra è la distinzione tra unità astratta del molteplice e unità specifico-determinata del molteplice. Infine l'unità astratta del molteplice non è semplicemente posta dalla coscienza, perchè anzi la coscienza non potrebbe porre niente che non fosse già presupposto. Se fosse la coscienza a porre l'unità astratta del molteplice, non ci sarebbe la dialettica che dal molteplice necessariamente passa all'unità del molteplice. Se il presupposto non fosse antecedente al 'posto', non ci potrebbe essere che un rapporto esteriore ed arbitrario tra collettivo e complessione, senza possibilità di un passaggio o di un'ascesa dall'uno all'altro termine.
17. Oggetti ideali sono gli oggetti di ordine superiore ?
18. La totalità è esistente, ma la modalità di organizzazione (la forma) della totalità è solo sussistente.
19. Chiamerei "rapporti" le relazioni ideali e non le relazioni reali.
20. Meinong fa l'eco alla distinzione tra rappresentazione e giudizio da parte di Twardowski. Mentre nel percepire gli elementi sono dati, nel giudicare gli elementi sono già dati in quanto metalinguisticamente elaborati. Oggetto del giudizio non è più Carlo, ma "Carlo". E per dare di nuovo concretezza a Carlo c'è bisogno di un'asserzione, che ha al centro l'evento, l'evento che dà vita all'oggetto trasceso metalinguisticamente.
21. La fondazione può essere assimilata ad una sorta di generazione neoplatonica del tipo di quella che costruisce le figure geometriche come teoremi sulla base di assiomi.

Bolzano, la verità e la dimostrazione

Bolzano argomenta poi che, non importando solo che una teoria sia corretta, ma anche che tale correttezza sia evidente, sono allora necessarie specifiche dimostrazioni.
Per dimostrazione si intende la quintessenza delle proposizioni messe insieme per rendere evidente la verità di una proposizione, e perciò è forse sciocco voler dimostrare proposizioni evidenti o più evidenti di quelle tramite le quali avverrebbe la dimostrazione.
Bolzano aggiunge che nelle discipline matematiche contenenti concetti puri, bisognerà trovare una dimostrazione che deduca una proposizione data da proposizioni concettualmente pure e ciò mediante deduzioni perfette.
Partendo dalla distinzione tra proposizioni in sè e giudizi (o asserzioni) c'è anche una distinzione tra verità in sè e conoscenze (verità conosciute).
Al pari di tutte le cose reali, le conoscenze hanno cause ed effetti. Il giudizio che oggi l'aria è meno opprimente di ieri è provocato in me dal fatto che, osservando un barometro, ho notato che la colonnina di mercurio era più bassa di ieri.
Un rapporto analogo tra le nostre conoscenze è un rapporto che vale solo tra verità in sè (con alcune che valgono da fondamenti e altre da conseguenze). Questo rapporto tra verità in sè è il nesso oggettivo. Se affermo che certe conoscenze A, B, C, D producono in noi una nuova conoscenza M, da ciò non si deve immediatamente dedurre che A, B, C, D siano fondamenti ed M la conseguenza.
Chiameremo perciò soggettivi i fondamenti meramente conoscitivi ed invece chiameremo oggettivi i fondamenti autentici.
Ad es. la conoscenza che oggi il barometro è più basso di ieri (provocando in noi la conoscenza che la pressione dell'aria è oggi inferiore a ieri) si può considerare il fondamento soggettivo di questa ulteriore conoscenza, ma non ne è il fondamento oggettivo, ed anzi, al contrario, la pressione differente dell'aria è uno dei fondamenti parziali di cui l'abbassamento della colonnina di mercurio risulta come conseguenza.
Altro esempio è che la verità che il furto non è permesso è fondata oggettivamente sulle due verità che non è permesso nulla che turbi il bene comune e che il bene comune è turbato dal furto. Non si tratta qui del solo fondamento conoscitivo, ma l'autentico fondamento effettivo, sulla base del quale il furto non è permesso.
Infine un ultimo esempio dalla matematica se "..dati due punti A e B ne esiste un terzo C che ha dai due la medesima distanza che hanno l'uno dall'altro" altrettanto evidente è che "...due cerchi devono intersecarsi se uno è disegnato a partire da A e l'altro da B ed entrambi hanno raggio AB in uno stesso piano individuato da questi punti ".
In questo caso la prima verità contiene il fondamento della seconda, ma se si guarda il mero processo conoscitivo, si può ripresentare il rapporto inverso per cui dall'osservazione che i cerchi si intersecano, si può essere indotti a pensare che esiste un terzo punto C tale che CA=CB=AB.

Se tra verità in sè esiste effettivamente un nesso oggettivo, è importante imparare a conoscerlo in particolare perchè ci si può aspettare che la conoscenza del fondamento di una verità ci mette in grado di scoprirne altre non ancora note.
Soprattutto nelle scienze di pure verità concettuali (quali la matematica) se si può presumere che A, B, C, D siano il fondamento oggettivo di M, allora partire da A, B, C, D è anche la via più breve per convincerci di M.
Perciò ogni insegnamento rigorosamente scientifico non ci deve dare solo la mera certezza delle verità da esso stabilite, ma ci fa individuare ove possibile il nesso oggettivo tra le verità. Dove una verità ha il suo fondamento, tale fondamento va dimostrato e se si risale ad una verità senza ulteriore fondamento, ma che sia fondamento di altre, si dovrà allora mostrare che e come spetti ad essa tale notevolissima proprietà
Se si riesce con la stessa considerazione che vale a convincerci della verità di una proposizione, ad intravedere anche un fondamento effettivo, evidenziando come tale verità scaturisca da altre verità già esposte, allora converrà unificare il procedimento conoscitivo e quello logico.
Le considerazioni che producono entrambi i procedimenti appartengono alle dimostrazioni (o fondazioni). Le dimostrazioni che non danno certezza (acquisita già prima) sono fondazioni. Le dimostrazioni invece che conferiscono certezza senza indicare un fondamento oggettivo si dicono accertamenti.
Già Aristotele aveva introdotto la distinzione tra dimostrazioni che mostrano che qualcosa è (oti) e dimostrazioni che mostrano perchè qualcosa è (dioti) . Aristotele diceva che autentica episteme è solo quella dove ci fossero dimostrazioni del secondo tipo, giacchè si sa soltanto quando si sia in grado di indicare il perchè (giustificazione)
Proclo poi, dice Bolzano, a tal proposito, giustamente criticava gli Epicurei dicendo che il fatto che due lati di un triangolo presi insieme sono sempre più lunghi del terzo è forse manifesto ai sensi, ma la scienza deve indicare il fondamento del perchè sia così e Leibniz aggiunge che egli cerca le dimostrazioni persino degli assiomi, mentre Ladomus asserisce che fondare ciò che è chiaro non è la geometria, ma un'altra scienza che Bolzano chiama scienza dello spazio ( la topologia ? )
Bolzano però conclude che due testi (di cui uno rende tutto chiaro e certo, l'altro che rende comprensibile ciò che è chiaro e fonda ciò che è certo) non appartengono a due scienze diverse, ma sono esposizioni di un'unica e medesima scienza.
Egli poi dice che nell'insegnamento di una scienza rigorosa, bisogna far capire ad ogni passo come la nostra via conduca ad una certa meta, bisogna che ogni volta che si introduce un nuovo concetto si riesca a far notare come è utile considerarlo, bisogna che ogniqualvolta si stabilisca una proposizione, si mostri in qual modo essa si integri con la nostra disciplina, bisogna che nei casi in cui non si possa prevedere come sarà una proposizione, si conduca il lettore a ricercare una proposizione dello stesso tipo.
Bolzano poi evidenzia i limiti di una concezione per cui, nel discorso di una scienza rigorosa, non si debba mai formulare una proposizione, prima di aver premesso tutti i fondamenti. Egli nota che l'anticipazione a volte rende edotti dello scopo per cui si esegue una certa costruzione, altrimenti tutto sembrerebbe insensato. Bisogna per Bolzano iniziare con un problema, che ci indichi qual è l'obiettivo, lo scopo. La forma del problema si può adattare anche a teorie di altro tipo, dal momento che la verità non sempre è così intuitiva.
Bolzano poi enuncia una regola per cui la verità semplice deve essere premessa della verità più complessa e a parità di complessità, la verità più generale deve essere premessa a quella più particolare. Ad es. la verità per cui aree di figure simili si comportano come i quadrati di lati omologhi, è più generale e più semplice di quella che afferma la stessa cosa solo per i triangoli. Non è lo stesso se la verità più generale e più semplice di quella che afferma la stessa cosa solo per i triangoli. Non è lo stesso se la verità più generale sia più complessa di quella particolare.
Ad es. nella proposizione:

(1+n) alla n = 1+ nx + “n([n-1]/2) PER x alla 2”+ “n([n-1]/2) PER ([n-2]/3) PER x alla 3” + ad infinitum
"n" può designare qualsiasi tipo di numero purchè x sia minore di 1.

Questa proposizione è più generale di quella che afferma l'uguaglianza solo per un esponente positivo ed intero, e tuttavia è più complessa perchè il concetto di potenza con esponente qualunque è più composto di quello di potenza con esponenti interi. Bolzano dice pure che non è facile determinare l'ordine con cui devono succedersi le diverse verità appartenenti ad un'unica e medesima scienza matematica. Per poterlo decidere, si devo anzitutto possedere perfettamente gli elementi di cui è composto ogni concetto che compare in quelle verità. Nella geometria (aggiunge Bolzano) si ponevano all'inizio del discorso proposizioni ben prima che si potessero fondare oggettivamente e quindi se ne premettevano altre che si stabilivano (ed a volte no) in sezioni successive. Così se si deve dimostrare oggettivamente anche solo la singola verità che la linea retta è la più breve tra due punti, si devono far precedere alcune centinaia di proposizioni per lo più sinora tralasciate.

Bolzano poi parlando dell'insegnamento della matematica, sottolinea l'importanza del titolo che facilita i collegamenti del lettore sia raggruppando diversi temi, sia anticipando e sunteggiando i contenuti al dettaglio.

Last but not the least, Bolzano si occupa delle dimostrazioni apagogiche, solitamente usate in matematica, considerando l'opposto contraddittorio della proposizione da dimostrare. Si cerca di dimostrare che da tale opposto contraddittorio, risulta una conclusione palesemente falsa, se vengono assunte anche certe altre proposizioni già provate come vere. E' evidente che non potrebbe venir fuori questa conclusione falsa se fossero vere tutte le premesse da cui l'abbiamo dedotta. Se dunque tutte le altre premesse sono inconfutabili, dovrà essere falso l'opposto contraddittorio della verità da dimostrare e dunque quest'ultima dovrà essere vera. Tali dimostrazioni raggiungono lo scopo della certezza, ma si è sollevata l'obiezione che non farebbero riconoscere il fondamento oggettivo della verità da dimostrare. Bolzano dice che tale accusa non è sempre giustificata anche se il fondamento oggettivo su cui poggia una verità non può mai saltarci agli occhi con chiarezza. Bolzano aggiunge che si rimprovera non senza ragione a questo tipo di dimostrazioni il fatti che essere partono da una proposizione falsa. Infatti non si deve ammettere che la considerazione del falso sia una necessità inevitabile per ottenere la conoscenza del vero, potendosi piuttosto presumere che si debba riuscire a giungere alla stessa conclusione cui ci conduce la dimopstrazione apagogica considerando verità pure. Bolzano aggiunge che le verità che devono essere scelte al posto delle proposizioni false dell'apagogia, sono in generale proposizioni che risultano da queste ultime mediante una semplificazione, tralasciando le singole parti che le rendono proposizioni false. ma sebbene la dimostrazione che evita le assunzioni false sia più semplice di quella apagogica, quest'ultima però si presenta più facile e spesso si fa formulare più brevemente della prima, visto che non sempre le idee più semplici possono essere espresse più semplicemente.

Alle tesi di Bolzano possiamo fare le seguenti osservazioni :

1. Bolzano giustamente sottolinea che alla base delle verità logiche c'è l'evidenza. Ma ciò come si concilia con la separazione della logica dalla psicologia ? Inoltre se è possibile cognitivamente (e dunque psicologicamente) passare dalla consapevolezza della verità dei teoremi a quella della verità degli assiomi (mentre ciò non è logicamente possibile), come si può radicare la logica (dove la sequenza è univoca) con la psicologia (dove la sequenza può ben essere simmetrica e biunivoca) ?
2. Bolzano distingue giustamente tra presupposti genetici e presupposti validativi, tra certezza soggettiva e verità oggettiva, tra verificazioni e fondazioni, tra scienza e filosofia (logica)
3. Bolzano da un lato dice che, una volta raggiunto il livello fondativo, la procedura fondativa si rivela essere anche quello didatticamente, retoricamente e cognitivamente più semplice e conveniente. D'altro canto ribadisce la preferibilità pragmatica di un procedimento zetetico (basato sul partire da problemi)
4. Le dimostrazioni sono le procedure che al contempo indicano un fondamento oggettivo e danno certezza. Le fondazioni indicano un fondamento oggettivo ma non danno certezza (forse perchè il loro procedimento è un porre formalistico ed assiomatico che non si occupa del valore di verità delle premesse). Le verificazioni (accertamenti) danno certezza, ma non indicano un fondamento oggettivo.
5. Probabilmente le potenze con esponente qualunque non sono più complesse delle potenze con esponente intero, dal momento che un numero maggiore di segni (ricompreso dalla variabile) può ben essere inversamente proporzionale alla complessità del concetto. La variabile riferendosi a tutti gli esemplari può denotare le proprietà comuni a tutti gli esemplari, proprietà che non sono sicuramente maggiori a quelle possedute da ciascun esemplare individualmente considerato.
6. Infine Bolzano si dimostra consapevole della rilevanza dialettica e del carattere problematico delle dimostrazioni apagogiche e di quelle per assurdo. Tuttavia non articola un modello che eviti la necessità di partire da proposizioni che si dimostreranno false, per quanto ne dichiari la possibilità e l'opportunità.