Ideografia e abusi demagogici

Da una lingua logicamente perfetta (Ideografia) si deve pretendere che ogni espressione che sia costituita come nome proprio a partire da segni già introdotti e secondo ben precise regole grammaticali, designi di fatto anche un oggetto e che non venga introdotto alcun nuovo segno come nome proprio senza che gli sia assicurata una denotazione.
La storia della matematica ci può indicare molti errori che hanno proprio questa origine. E forse l'abuso demagogico che facciamo della lingua dipende più da questo fattore che dall'ambiguità delle parole. L'espressione ad es. "La volontà del popolo" è un esempio dell'abuso di parole fatto demagogicamente. Sarà infatti facile constatare che, a dir poco, non ha una denotazione generalmente accettata.
Non è dunque senza importanza eliminare una volta per tutte almeno dalla scienza la fonte di questi errori. Fatta questa operazione non saranno possibili obiezioni come quelle sopra discusse, perchè non potrà dipendere dalla verità di un pensiero se un nome proprio ha o non ha una denotazione.

Come un' espressione può essere costituita come nome proprio a partire da segni già introdotti e secondo ben precise regole grammaticali ? Forse Frege si riferisce all'uso di "un" e "il" o dei loro corrispettivi in un linguaggio formale ? E questo basta per fornire denotazione ad un nome proprio ? Non saremmo in pieno approccio neo-meinonghiano ? E perchè la "volontà del popolo" sarebbe un abuso linguistico ? Non sono stati usati segni già esistenti ? E quali regole grammaticali questa locuzione avrebbe violato ? Quelle che Frege non aveva l'ardire di esplicitare ? Quelle che i neopositivisti hanno esplicitato con esiti suicidi ?

Funzione e concetto in G. Frege

Frege nel saggio "Funzione e concetto" tratta del rapporto tra la nozione filosofica di "funzione" e quella logica di "concetto".
Egli inizia con il trattare della nozione ristretta di funzione (che egli ammette aver ampliato nel corso della storia il suo ambito di riferimento) e dice che, a proposito delle funzioni matematiche ad un argomento, la necessità di loro definizione nacque quando all'epoca della scoperta dell'analisi matematica superiore, si trattò di stabilire delle leggi che valessero appunto per le funzioni, che cioè ne disciplinassero l'uso. La risposta che si è potuta ottenere storicamente è che per funzione di x, cioè F(x), si intende un'espressione di calcolo (formula) contenente x. Perciò in tal caso "2 + x" sarebbe una funzione di x, mentre "2x2+2" sarebbe una funzione di 2.
Frege però obietta che tale risposta non è soddisfacente dal momento che non distingue la forma dal contenuto, il segno dal designato. Questa è un limite che consegue dal formalismo, il quale parla di segni senza contenuto e poi attribuisce loro proprietà compatibili solo con il contenuto dei segni.
Ma allora cos'è il contenuto, la denotazione di "2X2+2" ? La stessa cosa che la denotazione di "6" ovvero di "2x3" ?
Frege dice a questo proposito che ciò che è espresso nell'equazione " 2x2+2 = 6 " è che la denotazione del complesso di segni che si trova a destra è la stessa di quello che si trova a sinistra. Chi dice che "2+5" e "3+4" sono eguali, ma non sono la stessa cosa, finisce anch'egli per confondere tra segno e designato, tra forma e contenuto, come se si volesse vedere nella violetta profumata un fiore diverso dalla viola odorata, solo perchè i due nomi suonano diversamente. La diversità della designazione non può da sola essere sufficiente a fondare la diversità del designato.
Frege ammette che nel campo matematico le cose sono meno chiare, perchè la denotazione del numerale '7' non ha nulla di sensibilmente percepibile. La tendenza a non riconoscere come oggetto nulla che non si possa percepire con i sensi porta a sua volta a ritenere che gli stessi numerali siano i numeri ed in questo caso '7' e '2+5' sarebbero certamente diversi.
Frege sostiene l'insostenibilità di simile concezione in quanto non si può parlare di alcuna proprietà aritmetica del numero senza rifarsi alla denotazione del numerale : ad es. la proprietà che ha '1' di essere il risultato della moltiplicazione di sè per sè sarebbe allora una pura invenzione, giacchè nessuna ricerca microscopica o chimica per quanto approfondita potrebbe scoprire tale proprietà nella figura che chiamiamo "numerale". E per quanto possa trattarsi di definizioni, nessuna definizione può avere capacità creatrici tali da concedere ad una cosa proprietà che essa non ha a parte quella di esprimere e designare ciò di cui la definizione stessa ce la presenta come segno (se mancano tanto il senso che la denotazione non si può parlare nè di segno nè di definizione).
Si pensi al fatto, aggiunge Frege che un giorno si potrebbero introdurre numerali del tutto nuovi (come i numeri indiani rispetto a quelli romani), ma nessuno può ritenere di avere a che fare con numeri del tutto nuovi.
Se si deve allora distinguere tra numerale e la sua denotazione, allora si dovrà anche riconoscere che le espressioni "2", "1+1", "3-1" hanno la stessa denotazione, giacchè non si vede in cosa consista la differenza. Qualcuno potrebbe dire che "1+1" è una somma e 6/3 un quoziente. Ma cos'è 6/3 ? Il numero che, moltiplicato per '3' dà '6'. IL numero e non UN numero : l'articolo determinativo indica che ce ne è uno solo.
Dunque le diverse espressioni, conclude Frege, corrispondono a diverse apprensioni ed aspetti della cosa, che resta sempre la stessa. Altrimenti dovremmo dire che l'equazione "a x a = 4" ha non solo le radici "+2" e "-2", ma anche "1+1" e infinite altre diverse tra loro. Se invece si riconosce che l'equazione ha solo due radici reali, si respinge l'opinione che il segno di eguaglianza non denota alcuna completa coincidenza, ma solo un accordo parziale.
Le espressioni di calcolo denotano numeri. E perciò se le funzioni fossero solo la denotazione di un'espressione di calcolo, allora sarebbe proprio un numero e con essa non avremmo acquisito niente di nuovo per l'aritmetica. E' vero però che chi usa la parola "funzione" è solito pensare ad espressioni in cui un numero, per mezzo di una lettera (es. x), è indicato solo in modo indeterminato : ciò però non cambia niente, giacchè quest'espressione indica pur sempre un numero per quanto in modo indeterminato. Tuttavia è proprio questa notazione, che usa la x per indicare in modo indeterminato, a metterci sulla strada giusta. Si chiama 'x' l'argomento della funzione e in (2 x 1 + 1) o (2 x 4 + 4) o (2 x 5 + 5), si riconosce la stessa funzione, solo con diversi argomenti (1,4,5). L'essenza propria della funzione sta in ciò che è comune a quelle espressioni, ciò che è presente in "2 x a + a" (abbiamo messo "a" al posto di "x") e che potremmo scrivere "2 x ( )+( )".
L'argomento, continua Frege, non appartiene alla funzione, ma forma con la funzione un tutto completo : infatti la funzione di per sè sola è incompleta, è insatura ed ha bisogno di completamento. In ciò risiede la differenza tra funzioni e numeri. L'incompletezza è l'essenza stessa della funzione e grazie ad essa noi riconosciamo la stessa funzione in formule che denotano diversi numeri, mentre riconosciamo diverse funzioni in formule che denotano lo stesso numero come ad es. "2 x 1 + 1" e "4-1". Per questo inoltre siamo facilmente indotti a vedere nella forma dell'espressione l'essenza della funzione. Nell'espressione riconosciamo la funzione per il fatto che la pensiamo scomposta e questa sua possibile scomposizione ci viene resa comprensibile dalla sua formazione.
Il segno dell'argomento e l'espressione della funzione (le due parti in cui viene scomposta la formula) sono eterogenee, perchè l'argomento è un numero, un tutto in sè conchiuso, cosa che la funzione non è. ciò può essere paragonato alla divisione di un segmento con un punto, dove si è inclini a calcolare il punto di divisione per entrambe le parti del segmento. Ma per evitare di calcolare due volte bisogna calcolare il punto di divisione solo per una parte del segmento. Questa parte è in sè pienamente conchiusa e va paragonata all'argomento, mentre dall'altra parte mancherà qualcosa. Infatti non le appartiene il punto di divisione che la completa. Se ad es. si dicesse "La funzione '2 x a + a' ", allora (a)non è da considerare come appartenente alla funzione, ma la lettera serve solo ad indicare l'integrazione necessaria, rendendo noto dove deve essere introdotto il segno dell'argomento.
Ciò che si ottiene quando si completa la funzione con il suo argomento, lo chiamiamo valore della funzione per questo argomento. Ad es. '3' è il valore della funzione "2 x a + a" per l'argomento '1' (2 x 1 + 1 = 3).
Ci sono funzioni, come ad es. "2+a-a" oppure "2+0xa", il cui valore è sempre lo stesso, qualunque sia il suo argomento. Se si calcolasse l'argomento come appartenenente alla funzione, si dovrebbe dire che il numero '2' è questa funzione. Ma non è giusto perchè comunque la funzione deve essere distinta da '2'. Infatti l'espressione di questa funzione deve sempre indicare uno o più posti che sono destinati ad essere riempiti dal segno dell'argomento.
Ad es. nella geometria analitica considerando l'argomento come valore numerico di una ascissa e il corrispondente valore della funzione come valore numerico dell'ordinata di un punto, otterremmo un insieme di punti che nei casi ordinari si presenta all'intuizione come una curva. Ogni punto della curva corrisponde ad un argomento ed al rispettivo valore della funzione. Ad es. "y = (a x a) - 4a" ci dà un a parabola; "y" indica il valore della funzione e il valore numerico dell'ordinata, mentre "a" indica l'argomento e il valore numerico dell'ascissa. Se facciamo il confronto con la funzione "a(a-4)" troveremo che le due funzioni hanno sempre lo stesso valore per lo stesso argomento e la curva della prima è la stessa di quella della seconda. Così la funzione "a(a-4)" ha lo stesso decorso di valori della funzione "(a x a) - 4a". Se scriviamo "a(a-4) = (a x a)- 4a" non eguagliamo una funzione all'altra, ma ci limitiamo ad eguagliare i valori delle due funzioni. E se intendiamo questa equazione in modo che debba valere per qualunque argomento sia sostituito ad x (o ad 'a'), avremo così espresso la generalità di un'equazione. Potremmo però anche dire "Il decorso di valori della funzione a(a-4) è uguale a quello della funzione (a x a - 4a)" ed avremo allora un'equazione tra decorsi di valori. Che sia possibile concepire la generalità di un'equazione tra valori di funzioni come un'equazione tra decorsi di valori, deve essere ritenuto una legge fondamentale anche se non ancora dimostrabile (funzione, nel senso del termine qui utilizzato, è l'antecedente logico del concetto di decorso di valori).
Si può ora, dice Frege, anche introdurre un breve modo di designare il decorso di valori di una funzione, sostituendo con una lettera maiuscola il segno dell'argomento e chiudendo tutto tra parentesi. Così E(E x E - 4E) è il decorso di valori di (a x a - 4a), mentre A(A x (A - 4)) è il decorso di valori di a(a-4), cosicchè in "E(E x E - 4E) = A(A x (A - 4))" si esprime che il primo decorso di valori è lo stesso che il secondo. L'espressione "a(a-4) = (a x a)- 4a" esprime lo stesso senso, ma in modo diverso. esso rappresenta il senso come generalità di un'equazione, mentre la nuova espressione introdotta è semplicemente un'equazione in cui sia la parte destra sia quella sinistra hanno una denotazione in sè conclusa.
Mentre in "a(a-4) = (a x a)- 4a" sia la parte destra che quella sinistra indicano un numero solo in maniera indeterminata. Potremmo sostituire ad (a) la lettera (x) senza cambiare il senso, giacchè entrambe le lettere indicano un numero solo in modo indeterminato. Ma se riuniamo entrambe le parti in un'equazione, dobbiamo scegliere per entrambe le parti la stessa lettera, ed in questo modo esprimere qualcosa che non è contenuto in nessuna delle due parti prese di per sè nè nel segno di uguaglianza. Ciò che esprimiamo è proprio la generalità, sia pure quella di un'equazione.
Come per esprimere la generalità si indica un numero in modo indeterminato con una lettera, così si deve anche indicare una funzione in modo indeterminato con una lettera. Usandosi f o F si hanno espressioni come F(x) dove x rappresenta l'argomento. Il bisogno di completamento della funzione è espresso dal fatto che la lettera f o F porta con sè una parentesi il cui spazio vuoto è destinato ad accogliere il segno dell'argomento. Perciò "E f(E)" indica il decorso di valori di una funzione lasciata indeterminata.
Come è stata ampliata la denotazione della parola "funzione" con il progredire della scienza ? In primo luogo è stato ampliato l'ambito dei tipi di calcolo che contribuiscono alla formazione di una funzione. All'addizione, moltiplicazione ed elevazione a potenza si aggiunsero diversi tipi di passaggio al limite, senza la consapevolezza della novità che ciò comportava. In secondo luogo è stato allargato l'ambito dei possibili argomenti e valori delle funzioni mediante l'assunzione dei numeri complessi. Conseguentemente si è voluto determinare più ampiamente il senso di espressioni come "somma", "prodotto" etc.
Frege dice che forse si può andare oltre in entrambi gli aspetti : è possibile introdurre oltre i segni che servono alla formazione di un'espressione (+,-,/) anche quelli (tipo =, >,<)che consentono di parlare della funzione "a x a = 1" dove 'a' rappresenta l'argomento. Il primo problema che emerge in tale contesto è quali siano i valori di questa funzione per argomenti diversi : per alcuni valori dell'argomento otterremo equazioni vere (es. a = 1 oppure a = (-1)), per altre equazioni false.
Si può affermare, dice Frege, che il valore della funzione (a x a = 1) è un valore di verità. Si può distinguere il valore di verità (il Vero) dal valore di verità del falso (il Falso). Mentre con a = 2, "a x a = 4" denota il Vero (così come "2 x 2" denota "4"), invece "a x a = 1" denota il Falso.
Perciò, dice Frege, "2 x 2 = 4" e "2>1" denotano la stessa cosa (il Vero).
Così (2 x 2 = 4)= (2>1).
Qualcuno potrebbe obiettare che "2 x 2 = 4" e "2>1" esprimono pensieri del tutto diversi. Ma anche "4x4 = 16" e "2x2x2x2 = 16" esprimono pensieri diversi, ma sono sostituibili tra loro, perchè entrambi i segni hanno la stessa denotazione. Di qui si vede che l'eguaglianza della denotazione non implica l'eguaglianza del pensiero.
Se diciamo "La stella della sera è un pianeta il cui periodo di rivoluzione è minore di quello della Terra" il pensiero così espresso è diverso da quello espresso dall'enunciato "La stella del mattino è un pianeta il cui periodo di rivoluzione è minore di quello della Terra". Infatti chi non sapesse che la stella del mattino è la stessa stella della sera, riterrebbe vero uno degli enunciati e falso l'altro. Ma la denotazione di entrambi gli enunciati deve essere la stessa perchè solo le parole "stella del mattino" e "stella della sera" sono state tra loro scambiate, parole che hanno la medesima denotazione, sono cioè nomi proprio dello stesso corpo celeste. "4x4" e "2x2x2x2" hanno la stessa denotazione, ma non lo stesso senso, non lo stesso pensiero.
Come scriviamo "2x2x2x2 = 4x4", altrettanto legittimamente possiamo scrivere "(2x2x2x2 = 4x4) = (4x4 = 4-al-quadrato)"
oppure "(2x2 = 4) = (2>1)"
Frege conclude che si va sempre più diffondendo l'opinione che l'aritmetica sia una logica ulteriormente sviluppata e che una fondazione più rigorosa delle leggi aritmetiche riconduca a leggi puramente logiche e ad esse soltanto. La lingua simbolica aritmetica deve essere ampliata sino a diventare una lingua simbolica logica.
Il valore della nostra funzione "a x a = 1" è sempre uno dei due valori di verità. Quando il valore della funzione è il Vero possiamo esprimerci così : "Il numero (-1) ha la proprietà di avere 1 come suo quadrato" oppure "(-1) è radice quadrata di (1)" oppure ancora "(-1) cade sotto il concetto di 'radice quadrata di 1' ". L'inverso avviene se il valore della funzione è il Falso. Da ciò vediamo come ciò che in logica è chiamato "concetto" sia intimamente connesso con ciò che chiamiamo "funzione". Anzi, un concetto è una funzione il cui valore è sempre un valore di verità. Anche il valore della funzione " (x+1) x (x+1) = 2 (x+1)" è sempre un valore di verità (Vero o Falso) e questo vale anche per " a x a = 1". Le due funzioni (sostituendo 'a' con 'x') hanno lo stesso valore per gli stessi argomenti. Esse dunque hanno lo stesso decorso di valori è ciò lo esprimiamo così :
E(E x E = 1) = A("(A + 1)x (A + 1)" = "2(A + 1)").
In logica ciò è chiamato "uguaglianza dell'estensione dei concetti"
Possiamo quindi designare come estensione del concetto il decorso di valori di una funzione il cui valore è per ogni argomento un valore di verità (Vero o Falso).
La forma linguistica dell'equazione è un'enunciato dichiarativo che contiene come suo senso un pensiero, o almeno pretende di contenerne uno : questo pensiero è in generale vero o falso e dunque ha un valore di verità che deve essere inteso come denotazione di un enunciato, così come il numero 4 è la denotazione dell'espressione "2+2" è Londra è la denotazione dell'espressione "la capitale dell'Inghilterra".
Gli enunciati dichiarativi possono a loro volta pensarsi scomponibili in due parti di cui una è in se stessa conchiusa, l'altra è invece insatura. Così ad es. l'enunciato "Cesare conquistò la Gallia" si può scomporre in "Cesare" e "conquistò la Gallia". Quest'ultima parte è insatura e contiene un posto vuoto : solo quando questo posto viene riempito da un nome proprio o da un'espressione fungente da nome proprio, appare un senso conchiuso. Chiamo funzione la denotazione della parte insatura, mentre Cesare è l'argomento.
Dunque non solo i numeri, ma anche gli oggetti in genere sono ammissibili come argomento : abbiamo già introdotto i valori di verità come possibili valori di funzioni, ora possiamo considerare tali anche gli oggetti, senza limitazioni. Ad es. partiamo dall'espressione "la capitale dell'Impero tedesco" che funge da nome proprio e denota un oggetto. La scomponiamo in due parti "La capitale di" e "L'impero tedesco" (utilizzando il genitivo per la prima parte), così che la prima parte è insatura, la seconda conchiusa. La prima sarà espressa come "la capitale di x", espressione di una funzione. Dato come argomento l'Impero Tedesco, avremo Berlino come valore della funzione.
Se dunque ammettiamo che gli oggetti, senza alcuna limitazione, possano figurare come argomenti e come valori di funzioni, ci possiamo chiedere che cosa viene qui chiamato oggetto. Abbiamo a che fare con qualcosa che per la sua semplicità non è suscettibile di una scomposizione logica. Possiamo dire brevemente : oggetto è tutto ciò che non è funzione e la cui espressione non contiene così alcun posto vuoto. Un enunciato dichiarativo non contiene alcun posto vuoto e pertanto la sua denotazione deve considerarsi come un oggetto. Ma questa denotazione è un valore di verità. Conseguentemente i due valori di verità sono oggetti.
L'equazione tra due decorsi di valori "E(E x E - 4E) = A(A x (A - 4))" può essere scomposta in "E(E x E - 4E)" e " ( ) = A(A x (A - 4))" . Questa seconda parte ha bisogno di completamento, in quanto alla sinistra del segno di eguaglianza c'è un posto vuoto. La prima parte, "E(E x E - 4E)", denota un oggetto perchè in sè conchiusa. I decorsi di valori di funzioni sono oggetti, mentre le funzioni stesse non lo sono. Abbiamo chiamato "E(E x E = 1)" un decorso di valori, ma potevamo anche designarlo come estensione del concetto radice quadrata di 1. Anche le estensioni dei concetti sono quindi oggetti, sebbene i concetti stessi non lo siano.
Riguardo alle denotazioni dei segni aritmetici già utilizzati, finchè gli unici oggetti con cui si ha a che fare sono i numeri interi, le lettere (a) e (b) in "a+b" indicano solo numeri interi, il segno di addizione deve essere spiegato solo nella sua utilizzazione tra numeri interi. Ogni ampliamento dell'ambito degli oggetti indicati da (a) e (b), richiede una nuova spiegazione del segno di addizione. L'imperativo del rigore scientifico sembra allora quello di prendere delle precauzioni affinchè non si effettuino inavvertitamente dei calcoli su segni vuoti, credendo invece di aver a che fare con oggetti. Tale triste esperienza la si è già fatta nel caso delle serie infinite divergenti.
E' dunque necessario stipulare delle regole dalle quali risulti cosa ad esempio denoti "# +1" qualora "#" denoti il sole. Come si stabiliscano queste regole è relativamente indifferente : la cosa essenziale è che esse siano stipulate in modo che "a+b" mantenga sempre una denotazione qualunque siano i segni di determinati oggetti che possano sostituire (a) e (b). Conseguentemente, per quel che riguarda i concetti, essi debbono avere per ogni argomento come valore un valore di verità e per ogni oggetto deve essere determinato se esso cada o no sotto il concetto.
In pratica i concetti devono essere rigorosamente delimitati, altrimenti sarebbe impossibile stabilire per loro delle leggi logiche.
Per ogni argomento x, per il quale "x+1" risulti essere senza denotazione, ne consegue che anche la funzione "x+1 = 10" non avrebbe nessun valore e quindi nessun valore di verità, cosicchè il concetto " ciò che addizionato ad '1' dà '10' " non avrebbe confini ben distinti. La rigorosa delimitazione dei concetti implica che anche per le funzioni in generale ci debba essere un valore per ogni argomento.

Le tesi di Frege qui esposte sono un grande tentativo di collegare matematica e logica e di usare i concetti matematici per fondare una filosofia del linguaggio logicamente ispirata. Si tratta di una grande avventura speculativa che criticherò senza mai smettere di ammirare.
Frege ha principalmente ragione nel dire che i formalisti da un lato parlano di segni che non abbisognano di contenuto per poi attribuire ad essi delle proprietà che possono essere proprie solo del contenuto. E' giusto dire che le proprietà numeriche non sono deducibili dai meri segni e che nessuna definizione può avere capacità creatrici tali da concedere ad una cosa proprietà che esso non ha. Se infatti mancano del tutto sia il senso che la denotazione,non si può parlare nè di segno nè di definizione. Frege qui giustamente argomenta a favore del realismo logico contro il formalismo (che a suo dire ha risvolti nominalistici)
Tuttavia da un lato Frege fa male a negare qualsiasi valenza conoscitiva a ciò che accade nella dimensione che sembra (e sottolineo "sembra") puramente segnica, mentre d'altro canto non è del tutto conseguente con il suo realismo logico nello sviluppare le sue tesi.
Infatti in primo luogo è proprio vero che la diversità della designazione non può da sola essere sufficiente a fondare la diversità del designato ? La diversità del nome o della formula non ci offre nuovi sensi che si riferiscono al denotatum ? Nuove proprietà dell'oggetto a cui ci si riferisce ? Frege dice che la mancanza nel numero della dimensione sensibile rende le cose meno chiare, dal momento che la distinzione tra segno e designato è meno netta. In realtà a nostro parere c'è una ragione più profonda di tale compenetrazione tra segno e designato ideale e la semantica potrebbe essere la dimensione propria di questo mistero. I segni sono veicoli puramente materiali del significato ? Una buona storia della notazione matematica (si pensi ad Ifrah)può problematizzare quest'assunto di partenza. L'elaborazione della notazione indo-araba ha reso possibile altre scoperte della matematica, ha evidenziato altre proprietà dei numeri. In realtà neanche i segni sono nostri (pensarlo è il principale errore del formalismo). Nostra è solo l'ulteriorità, l'atto che di volta in volta si appropria degli enti e ne fa segni di altri enti. E la semiosi stessa è un mistero : Come un ente può essere segno ? Esprimere e designare enti e proprietà di questi ultimi senza condividere queste proprietà ? Quali dimensioni del senso fanno da ponte tra un segno che non è più immagine ed una realtà che è sempre più remota ?
In secondo luogo Frege dice che per "funzione di x" si intende un'espressione di calcolo contenente x, una formula che include la lettera x, non accorgendosi che altro è un'espressione che contiene x ed altro è una formula contenente la lettera x. Infatti 'x' e la "lettera x" sono la stessa cosa ? Frege, come abbiamo visto, dice che mettere "2 + x" e "2X2+2" sullo stesso piano non è giusto, perchè non viene distinto il segno dal designato. Ma ciò vale se, come per i formalisti, 'x' è solo un segno. Perchè Frege, pur criticando il formalismo, diventa formalista quando si tratta della 'x' ? In realtà non c'è una differenza profonda tra 'x' e '2' ( Frege conviene poi su questo, ma la risultante delle sue tesi è comunque ambigua.. Il fatto che a '2' diamo una maggiore determinazione che ad 'x' è il frutto di una convenzione e di una mancanza di riflessione sulle condizioni di possibilità che sottostanno all'uso stesso dei segni. Un formalista potrebbe dire che '2' è un mero segno, come'x'. Un realista (come me) direbbe invece che 'x' rimanda ad una realtà ontologica come '2'. E' cosa diversa poi il segno dalla forma (che invece Frege sembra assimilare): la forma è una proprietà dei segni ed è già ad un livello più ideale dei segni stessi : la funzione non è un'espressione, ma il senso (sinn) dell'espressione con il segno 'x'.
Ma veniamo alla 'x'. In algebra 'x' è detta "incognita", in logica "variabile", Magari è '2', ma non lo sappiamo, lo dobbiamo scoprire. Non sapendolo può essere 1,2,3...n. Dunque 'x' non è un segno come 'casa' per una casa ? Ma un segno che sta per un numero qualsiasi ? O per un numero determinato che però non abbiamo ancora individuato ? O per quello che Biermann chiamava l'elemento indeterminato ?
'x' è una generalità, epistemicamente una variabile, cioè un numero di volta in volta diverso a seconda della forma nella quale è inserito. Non è esso stesso una forma (una forma è "2+1", la versione operazionale di un numero, una stringa, un algoritmo). Ma torneremo sulla 'x'. Ora ci soffermeremo sulla distinzione che Frege individua tra funzione ed argomento.
Frege dice che l'argomento non appartiene alla funzione, ma insieme alla funzione forma un tutto completo, perchè altrimenti la funzione sarebbe incompleta (insatura. In realtà la funzione è il Tutto composto da argomento e dalla locuzione funzionale, mentre Frege riduce la funzione allo locuzione funzionale stessa.
In realtà andrebbe distinta la funzione (locuzione funzionale + argomento), la locuzione funzionale (formula incompleta saturabile dalla concretizzazione numerica di una variabile) e schema funzionale (stringa del tutto priva di numeri e caratterizzata solo da variabili). Esempio della prima è un'operazione qualsiasi (4+5 +8),esempio della seconda è "4+5+x", esempio della terza è "x+y+z". Ma anche questa classificazione può essere considerata problematica, allo stesso modo dell'argomentazione di Frege a questo proposito. Comunque Frege confonde funzione e locuzione funzionale, mentre non prende in considerazione affatto lo schema funzionale.
Oserei dire che queste aporie sono legate alle aporie della relazione evidenziate dal vecchio provocatore F. H. Bradley. Se una funzione si può considerare una relazione, si può dire che una funzione non è il Tutto (compresi i termini relati) ad es. f(3), nè è un astratto rapporto che prescinde atomisticamente dai termini ad es. f( ), ma un che di indefinito come f(x). Dunque la variabile (x) consente anche di pensare ad una relazione ? Il massimo di purezza che una relazione/funzione può avere è possibile grazie ad una variabile/generalità ?
Ma bando alle ipotesi metafisiche e continuiamo con Frege :il quale dice che risultato della funzione completata dal suo argomento è il valore dela funzione per questo argomento. Dice Frege che, nel caso delle funzioni il cui valore è sempre lo stesso quale che sia l'argomento (es. "2+x-x" o "2+0xa") se si calcolasse l'argomento come appartenente alla funzione, allora si dovrebbe dire che il numero 2 (nei casi esemplificati) è questa funzione, ma in realtà la funzione va distinta dal valore della funzione, dal momento che l'espressione di una funzione deve sempre indicare uno o più posti destinati ad essere riempiti dall'argomento. A questi argomenti di Frege va ribattuto che la funzione è una totalità concreta, una forma interamente saturata, che può essere tranquillamente riassunta dal suo valore. Grazie a ciò, si può ben dire che "4+5+8 = 17", in cui 17 è il valore della funzione "4+5+8", ma è altresì il correlato numerico della funzione stessa. Perciò la funzione è di volta in volta il valore della funzione, così come la variabile è di volta in volta un determinato numero. Quello che Frege dice vale invece per la locuzione e per lo schema funzionale.
Funzione ed argomento dunque non sono realtà assolutamente distinte, dal momento che la funzione si concretizza sempre in un numero, così come l'argomento e nelle equazioni bisogna stabilire il valore della variabile (o delle variabili)e dunque determinare l'argomento per poi determinare il valore della funzione.
Frege poi dice che in "a(a-4) = (a x a)- 4a" ci troviamo dinanzi a due funzioni diverse che hanno sempre lo stesso valore, quale che sia l'argomento una volta determinato, dunque due funzioni che hanno lo stesso decorso di valori. In realtà è forse più opportuno dire che si tratta di due funzioni numericamente equivalenti, ma algoritmicamente differenti ( cioè con uno schema funzionale differente).
Si può asserire che tale equivalenza ("a(a-4) = (a x a)- 4a") non si può stabilire empiricamente (come si potrebbe stabilire "1+1 = 3-1") ma è stabilita dall'applicazione di regole logiche ? Per cui l'algebra è un insieme di regole per la manipolazione di segni che già collega la matematica alla logica ?
In realtà quando Frege stabilisce un'equivalenza tra la generalità di un'equazione tra valori di una funzione e l'equazione tra decorsi di valori, introducendo questi ultimi, incorre a mio parere in una ridondanza simbolica. Se infatti è possibile fondare logicamente ed operativamente l'equivalenza tra funzioni con lo stesso valore numerico, non è necessario ricorrere al decorso di valori che è già esemplificato dall'uso dello stesso segno per la variabile. Per questo motivo, perchè utilizzare un ulteriore simbolo per designare un decorso di valori che non va aggiunto alla funzione, dal momento che questa basterebbe a se stessa ?
Frege dice di sostituire con una lettera greca (qui si è utilizzata la maiuscola) il segno dell'argomento. In realtà egli aggiunge anche una lettera, altrimenti come da "(a x a)- 4a" si deriverebbe "E(E x E - 4E)" ? Forse "(a x a)- 4a" dà un'idea di apertura dal momento che come stringa può essere allungata da altre locuzioni funzionali, mentre invece il chiudere tra parentesi la funzione come in "E(E x E - 4E)" sembra darle una maggiore e più precisa determinazione, la rende conchiusa. Ma in tal caso perchè mettere di nuovo le lettere fuori della parentesi ? Inoltre Frege, come abbiamo visto dice che se riuniamo "a(a-4)" e "(a x a)- 4a" in un'equazione dobbiamo scegliere per entrambe le parti la stessa lettera, ed in questo modo esprimere qualcosa che non è contenuto in nessuna delle due parti prese di per sè nè nel segno di uguaglianza, e cioè la generalità. In realtà non si tratta semplicemente di esprimere la generalità : "a(a-4) = (a x a)- 4a" è molto diversa da "(a x a)- 4a = 1-1" con a=4. Infatti "a(a-4) = (a x a)- 4a" si può ottenere attraverso altre progressive equivalenze logiche e non è sottoposta all'equivalenza contingente del decorso dei valori come un'equazione del tipo 5-2 = 4-1 che è in realtà un'equazione 5-2 = 3 = 4-1 con un prodotto intermedio che è il valore della funzione. Tali equivalenze sono possibili solo se l'argomento è lo stesso sia nella parte sinistra che in quella destra dell'equazione. Invece nel caso di "E(E x E - 4E) = A(A x (A - 4))" , a parte la complicazione grafica, l'equivalenza risulta essere assolutamente contingente e delegata alla verifica del decorso dei valori nella funzione. Tutto ciò però a scapito dell'esistenza cara a Frege di leggi logiche alla base di quelle della matematica.
Frege estende poi la denotazione della parola "funzione". Questa è la parte più interessante ed azzardata del suo tentativo : infatti il valore della funzione da valore numerico diventa valore di verità. Tale estensione metaforica va giustificata.
Altro è dire che "2x2 = 4" e "2>1" sono veri, altro è dire che "(2x2 = 4) = (2>1)". Altrimenti saremmo alla logica primitiva per cui se "A è bello" e "B è bello" allora A=B. Frege ritorna al ragionamento che Platone problematizzò nel Sofista ?
Frege argomenta che due espressioni che denotano la stessa cosa, non per questo esprimono lo stesso pensiero (ad es. "4x4 = 16" e "2x2x2x2 = 16" esprimono pensieri diversi, ma sono sostituibili tra loro, perchè entrambi i segni hanno la stessa denotazione). Tuttavia il fatto che non tutte le espressioni denotanti la stessa cosa esprimono lo stesso pensiero, non implica che tutte le espressioni che non formulano lo stesso pensiero abbiano la stessa denotazione. Tocca sempre a Frege fornire le ragioni per cui "2x2 = 4" e "2>1" denotano la stessa cosa.
L'analogia con la "stella del mattino" e la "stella della sera" non è del tutto appropriata, in quanto tali espressioni che linguisticamente sono ricomprese nel sinn si riferiscono a dei sense-data o a dei fenomeni fisici. Essi perciò comporterebbero una riflessione a parte. Dire infatti che "stella del mattino" e "stella della sera" sono nomi propri dello stesso corpo celeste è semplicistico. Sono in realtà nomi che si riferiscono attraverso due diversi sinn a due fenomeni diversi che vengono ricondotti ad uno stesso oggetto tramite una teoria.
Frege potrebbe sostenere forse che "(2x2 = 4) = (2>1)" se trasformasse tale rapporto in un equivalenza logica giustificata da tutta una serie di equivalenze. Se cioè si riuscisse a trasformare la matematica in una serie di equivalenze o almeno di implicazioni in modo da trasformarla in una gigantesca proposizione molecolare con un' unica denotazione : Il Vero. Ma questo non è il programma di Hilbert ?
Quando Frege dice poi che un concetto è una funzione il cui valore è sempre un valore di verità, in quanto l'asserto in cui si risolve una funzione sarebbe del tipo "S è P" che in quanto tale è vero o falso, c'è da dire che sarebbe opportuno introdurre distinzioni più sottili corrispondentemente a quella tra funzione, locuzione funzionale e schema funzionale. Si può dire che alla funzione concreta corrispone il concetto che è l'unione tra il soggetto (argomento) e il predicato (locuzione funzionale), unione che può essere asserita o negata (vera o falsa); al predicato corrispone la locuzione funzionale dove l'argomento è ancora la variabile considerata come incognita; allo schema funzionale corrisponde invece la predicazione (relazione predicativa), dove entrambi (soggetto e predicato) sono variabili. Hegelianamente il concetto è visto come funzione concreta, come un che di proposizionale.
Frege dice che il concetto è il cadere di un oggetto sotto di esso. A parte la circolarità della definizione (che contiene cioè ciò che vuole definire e dunque rinvia ad infinitum la stessa definizione), perchè allora Frege parla del concetto di "radice quadrata di 1", dal momento che nessun oggetto cade sotto questo concetto ? Forse perchè anche l'insieme vuoto è un insieme ? Il non cadere sotto un concetto è pur sempre un cadere ? In realtà solo in una concezione dialettica la tesi della coimplicazione tra concetto e valore di verità può avere senso : il concetto non può essere il solo predicato, ma l'intera proposizione.
Inoltre anche dire che '4' è denotazione di '2+2' è sbagliato. Si può magari dire che 4 è denotazione di "4" e 2+2 di "2+2", o che denotazione di "4" e di "2+2" è lo stesso numero.
Anche dire che Londra è la denotazione de "la capitale dell'Inghilterra" è errato : si può dire che "Londra" è un nome di cui uno dei sensi è "La capitale dell'Inghilterra" e la cui denotazione è la città di Londra, della quale i diversi sensi evidenziano proprietà e relazioni con altro oggetti.
Frege divide poi "Cesare conquistò la Gallia" in I) Cesare (parte satura e completa) e II)...conquistò la Gallia (parte insatura e incompleta). Ma perchè considerare l'argomento Cesare invece che come componente satura, come un termine di più relazioni ? Infatti la proposizione suddetta si può dividere anche in I) Cesare conquistò...(parte insatura e incompleta) e II) la Gallia (parte satura e completa).Come a dire che (x + 4) può corrispondere a (5 + y) sempre che X=5 e y=4. Non solo Cesare è un argomento, ma anche la Gallia, anche se qualcuno potrebbe dire che il soggetto grammaticale di un enunciato è l'argomento di una proposizione, mentre un altro complemento grammaticale dell'enunciato è solo indirettamente argomento della stessa proposizione, ma di questo parleremo un'altra volta.
Frege opera anche un'altra estensione e cioè dai valori di verità come possibili valori di funzioni agli stessi oggetti come possibili valori di funzioni : ad es. in "La capitale dell'Impero tedesco" (con "La capitale di..." parte insatura, espressione di una funzione se accompagnata dalla variabile, e "Impero tedesco" parte satura e argomento della funzione) "Berlino" è il valore della funzione, cioè la risposta alla domanda "Qual è la capitale dell'Impero Tedesco?", così come "17" è il valore della funzione "4x + 5" con x=3. Qui l'analogia di Frege con la funzione matematica è più pertinente, perchè "Berlino" è una risposta ad una domanda così come "17" nel caso suddetto. In questi casi si stabilisce una equivalenza (tra "4x + 5" e "17" e tra "La capitale dell'Impero tedesco" e "Berlino"), mentre nel caso del valore di verità si valuta un'equivalenza già data e si è in una dimensione metalogica dove le alternative non sono illimitate (numeri o oggetti) ma bivalenti (vero o falso). E questo per non evidenziare che anche in "la capitale dell'Impero tedesco" è possibile operare una divisione utilizzando un altro criterio e cioè tra "La capitale" (parte satura) e "dell'Impero tedesco" (parte insatura). In base a questo ragionamento come si può pensare in base alla prima distinzione alla "Capitale dell'Impero Austriaco",così in base alla seconda distinzione si può pensare a "Il Kaiser dell'Impero tedesco".
E poi ancora se la funzione, in contrapposizione all'oggetto, viene considerata come qualcosa che contiene un posto vuoto, che ne è del valore della funzione come valore di verità, visto che la funzione rimane qualcosa di vago ? Anche qui Frege sconta la sua ambiguità, dal momento che da un lato concepisce la funzione come qualcosa che non è saturato (la locuzione funzionale) dall'altro ritiene che si possa concepire una funzione saturata (quello che io chiamo la funzione vera e propria) quando l'argomento non è più una variabile, ma un oggetto definito
Inoltre Frege dal fatto che l'oggetto è un qualcosa che non contiene posti vuoti (un atomo logico ?) e dal fatto che un enunciato dichiarativo non contiene alcun posto vuoto, ne deduce che la sua denotazione deve considerarsi come un oggetto. Ma questa denotazione è un valore di verità. Conseguentemente i due valori di verità sono oggetti. Anche qui l'appartenenza alla stessa classe ("non contenente posti vuoti")
di due elementi (oggetti, enunciati e conseguentemente valori di verità) porta arbitrariamente all'equivalenza tra enunciati ed oggetti e tra valori di verità ed oggetti. In realtà il valore della funzione è un oggetto, se la funzione è un concetto, il valore della funzione è un valore di verità se la funzione è una proposizione, l'oggetto è la denotazione del linguaggio oggetto, il valore di verità è invece la denotazione a livello-metalinguistico : perchè si possano considerare i valori di verità come oggetti, bisogna identificare concetti e proposizioni, sovrapporre linguaggio e metalinguaggio. Insomma si tratta di un'operazione che ha implicazioni che vanno affrontate esplicitamente.
Frege riduce ad oggetti non solo i valori di verità delle funzioni, ma anche il decorso di valori delle funzioni. Ma quest'ultimo è la stessa funzione con la sua variabile (o posto vuoto), cosa di cui invece Frege non si accorge dal momento che sulla distinzione tra valore di una funzione e funzione stessa egli basa buona parte della sua tesi. Ma del resto se "(a x a) - 4a" equivale ad un numero, perchè la funzione non deve equivalere al valore della funzione stessa ?
Frege equiparando decorso di valori e estensione del concetto, considera quest'ultimo come un oggetto, anche se non fa la stessa cosa con il concetto stesso: Perchè mai questo ? L'estensione di un concetto non è l'esplicazione del concetto ad un certo livello di analisi ? Perchè rendere la distinzione tra concetto e sua estensione un che di rigido ? Perchè rendere l'estensione di un concetto con la formula ridondante del decorso di valori e non sintetizzarla nella funzione stessa con la sua variabile ? La variabile non esemplifica senza aggiunte la generalità ? O meglio la generalità non è indissolubilmente legata alla interpretazione del segno, dal momento che il segno stesso rende la generalità un particolare tra tanti, per cui aggiungere segni (o sostituire le variabile con una parentesi vuota) è un'inutile fatica di Sisifo ?
Frege anticipa in un certo senso il principio di verificazione, in un senso addirittura allargato anche all'ambito logico-ideale, quando dice che bisogna stare attenti ad evitare che un'espressione diventi priva di denotazione. Forse per "denotazione" egli intende "determinazione", ma allora in che senso la denotazione si differenzierebbe dal sinn ? E perchè per Frege è parzialmente indifferente come si stabiliscano le regole da cui risulti cosa denoti "# +1" ? Il come è fuori dall'analisi filosofica ? Perchè dalla possibilità di stabilire la denotazione dipende la possibilità di stabilire leggi logiche per i concetti ? Perchè le leggi logiche sono legate necessariamente al valore di verità ? Ma ciò non vale solo per la logica proposizionale ? Se dobbiamo avere un valore di verità per ogni concetto, quest'ultimo è assimilabile ad una proposizione ? Una funzione " x + 1 " senza denotazione potrebbe avere sinn ?
Insomma , questo scritto di Frege è ad un tempo tra i più geniali e tra i puiù ambigui ed azzardati. Esso per essere meglio compreso abbisogna della lettura e dello studio degli altri suoi saggi scritti in questo periodo

La teoria dell'oggetto di Meinong

Meinong delinea poi una teoria dell'oggetto. Egli dice:

• Non si può conoscere senza conoscere qualcosa, nè si può desiderare senza desiderare qualcosa, nè si può rappresentare senza rappresentare qualcosa. Ma gli oggetti di questi atti intenzionali a quale scienza pertengono ? Parlare della scienza dell'oggetto del conoscere significa fare oggetto di una scienza e dunque una seconda volta oggetto del conoscere quello che è già oggetto del conoscere (e di una scienza particolare) . Si richiede dunque una scienza delle scienze che spesso è finita sotto il nome di metafisica, che si riferisce alla totalità del mopndo nella sua essenza e nei suoi fondamenti ultimi. Tuttavia la metafisica non può essere la trattazione dell'oggetto in quanto tale e degli oggetti nella loro totalità, giacchè la metafisica ha a che fare con la totalità di ciò che esiste, ma la totalità di ciò che esiste (con l'inclusione di ciò che è esistito e ciò che esisterà) è infinitamente piccola in confronto alla totalità degli oggetti di conoscenza.
• L'interesse vivo per il reale risiedente nella nostra natura favorisce l'esagerazione di trattare il non-reale come semplice nulla e come qualcosa in cui il conoscere non troverebbe assolutamente un degno punto di applicazione. Ci sono oggetti ideali che sussistono ma non esistono (non sono reali). I cosiddetti oggetti di ordine superiore sussistono ma non esistono (es. uguaglianza e diversità, numeri, connessioni). Le relazioni sussistono tra realtà, sono oggetto di rappresentazione e giudizio, ma non sono un pezzo di realtà. Al tempo stesso un numero non esiste in aggiunta a ciò che è contato.
• A volte si ha a che fare con un peculiare tipo di oggetto che sta rispetto a giudizi ed assunzione così come un oggetto vero e proprio sta rispetto alle sue rappresentazioni. Si tratta di quelli che qui chiamiamo "obiettivi", che possono subentrare nelle funzioni di oggetto vero e proprio ed essere oggetti di un nuovo atto di giudizio. Se dico "E' vero che ci sono degli antipodi" la verità è ascritta non agli antipodi ma a "....che ci sono degli antipodi". L'esistenza degli antipodi, a sua volta, sussiste ma non esiste un'altra volta per sè. E dunque la conoscenza di un obiettivo è conoscenza di un non-esistente.
• La matematica che ha un' ampia sfera di applicazione pratica ma non tratta di oggetti esistenti, ma solo di oggetti sussistenti (il cerchio, i numeri pari) o "possibili" in un senso positivo. E questo provoca difficoltà ad inserire la matematica in una sistematizzazione delle scienze e la matematica si configura come al di là della distinzione tra scienze della natura e scienze dello spirito.
• Ciò che può essere oggetto del conoscere non ha affatto bisogno di esistere. Si potrebbe a ciò obiettare che si potrebbe parlare di un esser-così solo presupponendo ogni volta un essere. Ed in effetti, non avrebbe molto senso chiamare una cosa piccola o grande prima di sapere che la cosa o la regione esiste, è esistita o esisterà. Tuttavia questa obiezione è insostenibile giacchè le figure di cui tratta la geometria ovviamente non esistono e tuttavia si possono verificare le loro proprietà (il loro essere così). Nell'ambito del conoscibile semplicemente a posteriori, un asserzione di esser-così non si potrà legittimare se non è basata sul sapere di un essere e potrà spesso mancare ogni naturale interesse per quell'esser-così che non abbia un essere dietro di sè. Tutto ciò però non cambia il fatto che l'esser così di un oggetto non è toccato dal suo non-essere (principio di indipendenza dell'esser-così dall'essere). L'ambito di validità di tale principio è tale per cui ad esso non sottostanno solo oggetti non esistenti di fatto, ma anche quelli che non possono esistere perchè impossibili : non solo "La montagna d'oro è d'oro", ma "Il quadrato rotondo è tanto rotondo quanto quadrato"
• Un qualsiasi non-ente deve essere in grado di fungere da oggetto almeno per quei giudizi che apprendono questo non-essere : per conoscere che non c'è un quadrato rotondo, devo appunto esprimere un giudizio sul quadrato rotondo. Dunque si può paradossalmente dire che ci sono oggetti per i quali vale che simili oggetti non ci sono.
• Facendo l'esempio del "blu" è come se il blu debba prima di tutto essere, perchè si possa effettivamente porre la questione del suo essere o non-essere, ma per non cadere di nuovo in paradossi è consentito dire che ogni oggetto è in un certo modo dato antecedentemente alla nostra decisione sul suo essere o non-essere in un modo che non pregiudica eventualmente il non-essere. Dal lato psicologico se devo poter giudicare riguardo ad un oggetto che esso non è, allora sembra che io debba prima afferrare in un certo modo l'oggetto per poterne dichiarare il non-essere.
• Il fatto che un certo A non è (dunque "Il non-essere di A") è un obiettivo quanto "L'essere di A". Esso ha un essere o più precisamente una sussistenza. Il rapporto tra obiettivo e oggetto è un rapporto tra tutto e parte. Se il tutto è, deve esserci anche la parte. Se l'obiettivo c'è, deve esserci anche l'oggetto. Poichè però l'obiettivo (attraverso la negazione) vieta di prendere il nostro A per essente e, potendo l'essere venire preso eventualmente non solo nel senso dell'esistenza, ma anche nel senso della sussistenza, allora l'esigenza di un essere dell'oggetto, dedotta dall'essere dell'obiettivo "Il non-essere di A", ha senso solo se ai due stadi dell'essere (esistenza o sussistenza) si aggiunge un terzo stadio, che chiamiamo quasi-essere.
• Questo quasi-essere dovrebbe spettare ad ogni oggetto in quanto tale ed un non-essere dello stesso tipo non dovrebbe stargli di fronte, giacchè un non-essere, anche in questo nuovo senso, dovrebbe avere come conseguenze difficoltà analoghe a quelle che comporta il non-essere nel senso abituale. Ma si potrà in genere chiamare ancora essere un essere a cui non starebbe di fronte alcun non-essere ?
• 'A' mi deve essere in qualche modo "dato" se devo apprendere il suo non-essere. Questo però produce un'assunzione di qualità positiva : per negare 'A', devo dapprima assumere 'l'essere di A', un 'essere di A' in un certo qual modo dato antecedentemente : ma è nell'essenza dell'assunzione indirizzarsi ad un essere che non ha bisogno esso stesso di essere.
• Ma dato che l'obiettivo è un tipo di complesso e l'oggetto un suo elemento, è proprio vero che l'obiettivo essente esige un oggetto essente ? Si può escludere tale evenienza nel caso dell'obiettivo del non-essere ? Si può dire che l'essere dell'obiettivo non dipende dall'essere del suo oggetto ? Forse l'opposizione di essere e non-essere è questione riguardante l'obiettivo e non l'oggetto e dunque nè l'essere nè il non-essere possono essere posti essenzialmente nell'oggetto per sè. Questo non vuol dire che un qualche oggetto potrebbe eccezionalmente nè essere nè non-essere, nè vuol dire che dovrebbe essere casuale quanto alla natura di ogni oggetto che esso sia o non sia. Infatti un oggetto assurdo come il quadrato rotondo porta in sè la garanzia del suo non-essere mentre un oggetto ideale come la diversità porta in sè la garanzia della sua non-esistenza. Dunque l'oggetto in quanto tale sta al di là dell'essere e del non-essere, o meglio l'oggetto è per natura al di fuori dell'essere, anche se dei suoi due obiettivi di essere (e cioè il suo essere ed il suo non essere) in ogni caso uno sussiste.
• L'indipendenza dell'esser-così dall'essere rappresenta un complemento dell'esteriorità dell'essere e del non-essere rispetto all'oggetto. L'esser-così di un oggetto aderisce all'oggetto sia che esso sia o che non sia. L'essere non è l'unico presupposto sotto il quale il conoscere troverebbe un punto di applicazione, ma è uno dei punti di applicazione del conoscere. Quest'ultimo trova già nell'esser così un campo di attività a cui può accedere senza rispondere alla questione dell'essere e del non-essere.
• Poichè la totalità degli oggetti del conoscere non coincide con la totalità degli oggetti esistenti, una scienza degli oggetti non può essere una scienza del reale. Ed essendo gli oggetti in corrispondenza con una facoltà psicologica, potrebbe essere la psicologia la scienza degli oggetti ? In realtà la psicologia non studia gli oggetti intenzionali per se stessi, così come la linguistica (anche se rendiamo tutte le cose del mondo con il linguaggio) non studia il mondo ma appunto il linguaggio.. La piscologia si configura come una delle scienze del reale ed in quanto tale inadatta ad essere scienza degli oggetti. La psicologia può interessarsi degli oggetti che siano rappresentabili, quelli che pseudo-esistono nelle rappresentazioni. Se penso ad un bianco più chiaro di ogni altro che l'occhio umano abbia mai visto o vedrà, questo bianco è tuttavia un bianco rappresentato. Questo psicologismo ha una radice idealistica (esse = percipi o cogitari) . Il lavoro della psicologia invece comincerebbe quando quello della teoria dell'oggetto ha finito : giacchè solo l'accadere psichico dell'ultrabianco potrebbe essere analizzato psicologicamente; A livello puramente teorico esso sarebbe tematizzabile solo da una teoria dell'oggetto.
• Ma allora potrebbe la teoria dell'oggetto essere equivalente alla teoria degli oggetti di conoscenza ? Un giudizio è vero non in quanto ha un oggetto esistente (o anche solo essente) bensì in quanto apprende un obiettivo essente. "Non esiste un perpetuum mobile" è una proposizione vera anche se non esiste un perpetuum mobile. La coincidenza tra giudizio e fatti può essere del tutto casuale, come una conclusione vera da premesse false. Tale casualità è estranea però al rapporto tra conoscenza e conosciuto, rapporto che si configura psicologicamente come evidenza. Il conoscere naturalmente non si riduce all'evidenza, ma abbisogna dell'obiettivo e dell'oggetto da esso implicato per cui il conoscere sotto quest'aspetto si trova interamente sullo stesso livello del giudizio vero per accidens. Ovviamente la limitazione del conoscere all'esistente implicherebbe l'esclusione di una parte degli oggetti dalla conoscenza stessa. Ma in realtà una scienza del conoscere non deve porsi questi limiti, ma si può rivolgere a tutti gli oggetti che possono essere conosciuti anche potenzialmente. e non c'è nessun oggetto che non sarebbe oggetto di conoscenza almeno quanto alla possibilità. Se si presuppone un'intelligenza illimitatamente potente non c'è niente di inconoscibile e perciò tutto il conoscibile è in un certo senso dato al conoscere. Gli oggetti sono anche certamente oggetti di conoscenza.
• Nella teoria della conoscenza no c'è solo il lato psichico del conoscere, ma anche il lato oggettivo e cioè ciò che riguarda il conosciuto. Inoltre poichè si conoscono anche cose non esistenti, ci sono due alternative : o queste cose non esistenti in un certo senso hanno un essere o esse sono appunto nella psiche. La prima alternativa è un trasporre nell'oggetto ciò che invece pertiene all'obiettivo. Si cade nello psicologismo quando, pensando che tutto il conoscibile debba essere esistente, si attribuisca al soggettivo psicologico tutto ciò che esula dall'esistente. Ma ciò non tiene conto del fatto che c'è un'oggettualità che non riguarda ciò che esiste, per cui la teoria della conoscenza è, da un certo punto di vista, teoria degli oggetti. Da un lato la teoria della conoscenza deve essere anche psicologia della conoscenza e dall'altro gli interessi teorico-oggettuali sono poco attinenti alla gnoseologia. Perciò la teoria dell'oggetto deve essere una scienza indipendente anche dalle teorie della conoscenza.
• Da un certo punto di vista la matematica è la parte compiutamente sviluppata della teoria dell'oggetto. Da un lato la teoria dell'oggetto deve essere una scienza della massima generalità ed estensione, dall'altro essa deve subentrare alle corrispettive scienze speciali. Da ciò si deduce che la matematica non è teoria dell'oggetto, ma una scienza a sè, i cui oggetti si trovano nella sfera la cui totalità va trattata dalla teoria dell'oggetto. Se la dottrina della scienza da un lato debba procedere a partire dalle scienze dei fatti già esistenti, dall'altro può anche trattare di scienze che ancora non esistono, sviluppandone concetti e obiettivi. La scienza dell'oggetto al momento non esiste per nulla o meglio è stata praticata spesso implicitamente e va dunque esplicitata.
• La teoria speciale dell'oggetto (e cioè un contesto oggettuale specifico) ha trovato nella matematica la rappresentazione più splendida che ci si possa augurare. L'applicazione della matematica ad altri ambiti di sapere non sempre rientra nella teoria degli oggetti, ma tuttavia alla base di ogni applicazione di questo tipo vi sono presupposti oggettuali. In alcuni casi la natura di questi presupposti ha posto al servizio della teoria dell'oggetto anche delle operazioni di calcolo (vedi la teoria delle combinazioni). Anche la geometria fornisce un aiuto ad accertamenti teoretico-oggettuali ed anche estensioni della matematica quali la topologia, la geometria dei colori, la teoria delle varietà e la metamatematica sono in realtà una transizione dalla teoria speciale alla teoria generale dell'oggetto.
• La logica, la teoria della conoscenza e la metafisica hanno già contribuito alla sfera di interessi della teoria dell'oggetto, la quale ha da imparare anche dalla grammatica (il cui significato non è stato visto nè dalla vecchia nè dalla nuova logica) . Il fatto che nella teoria dell'oggetto si presentino raccolti insieme dei problemi prima così disparati è una garanzia del valore di questo punto di vista. La teoria degli oggetti non è psicologia, nè logica (perchè la logica è tecnica) ed ha una relazione forte con la teoria della conoscenza e con la metafisica.
• Hofler dice che la metafisica tratta del metafenomenale, ma egli ignora che le singole scienze non sono affatto scienze del fenomenale, le cui proprietà (ad es. l'inizio e la fine dell'apparire) sono studiate anche dalla metafisica. La metafisica tratta della totalità del reale ed usa categorie proprie della teoria degli oggetti (identità, differenza) senza però riflettere su di esse e tematizzarle.
• La teoria degli oggetti non tratta del non-reale nè tratta solo del sussistente, giacchè cos' verrebbe escluso l'assurdo, il non-sussistente che pure appartiene al dato e la teoria dell'oggetto non può ignorarlo. Se si dicesse che la teoria dell'oggetto si occupa del dato senza alcun riguardo per il suo essere, essa dovrebbe rinunciare ad essere scienza e con ciò sarebbe esclusa anche la conoscenza dell'esser-così. Infatti per il conoscere non è necessario che il suo oggetto sia, ma deve avere un obiettivo essente. Se cioè la teoria dell'oggetto si occupasse di un esser così a cui non spettasse nemmeno un essere, essa non avrebbe pretesa di valere come teoria.
• Bisogna distinguere tra conoscenze legittimate dalla natura, dall'esser così dei loro oggetti o obiettivi (conoscenza a priori) e conoscenze non legittimate in questo modo (empiriche) . La prima forma di conoscenze riguarda la teoria degli oggetti, laseconda forma riguarda la metafisica. Se la metafisica è scienza della realtà, essa ha come fonte di conoscenza solo l'esperienza acnhe se dall'esperienza si può inferire ciò che non è inferito. La metafisica è perciò sapere del generale e di una metafisica a priori rimane solo l'argomento ontologico.
• E' possibile l'esistenza di scienze speciali aprioristiche (come la matematica) ed è escluso che complessioni e relazioni siano oggetti fisici o psichici. Sia la metafisica che la teoria dell'oggetto trattano oggetti fisici e psichici prescindendo dal loro essere fisici o psichici, ma guardando solo al loro statuto di oggetti. questo però non impedisce a scienziati (fisici e psicologi) di poter contribuire con le loro competenze allo sviluppo sia della metafisica che della teoria degli oggetti.

Le osservazioni che si possono fare circa le suddette tesi di Meinong sono le seguenti:

1. La scienza di cui parla Meinong è per Husserl la fenomenologia. La teoria degli oggetti di conoscenza in quanto oggetti di conoscenza può essere (più che la metafisica) l'analitica trascendentale kantiana, l'epistemologia o l'ontologia analitica. La metafisica se si riferisce ai principi può anche non ridursi alla totalità degli esistenti naturalisticamente intesi e dunque potrebbe abbracciare la totalità degli oggetti intenzionali che hanno infatti unostatuto ontologico almeno minimo. Non è un caso che molti oggetti della metafisica sono oggetti di secondo ordine (quali relazioni) e dunque oggetti sussistenti e non esistenti (secondo la terminologia di Meinong).
2. Più che di reale si dovrebbe parlare di effettivo e cioè di ciò che ha relazioni causali con ciò che appare ai sensi. Bisogna inoltre rivedere le definizioni di realtà ed esistenza. Per "realtà" Meinong intende la realtà naturalisticamente intesa. Ma tale realtà non è l'unico oggetto della metafisica, ma è oggetto dell'insieme delle cosiddette scienze positive.
3. L'obiettivo di Meinong è il concetto (o funzione) di Frege : esso è un'entità metalogica, una locuzione zippata come oggetto. Essa ha comunque uno statuto ontologico minimo e Meinong dimostra efficacemente che anch'essa può essere oggetto di scienza.
4. La divisione tra scienze della natura e scienze dello spirito è già implicitamente criticata da Hegel (dal momento che il pensatore tedesco faceva precedere la Natura e lo Spirito dall'Idea)
5. Non si capisce perchè gli argomenti di Meinong oltre che la necessaria esistenza dell'esser-così, dovrebbero confutare anche la tesi moderata per cui, nel caso dell'esser-così, l'esistenza laddove manchi, vada sostituita dalla sussistenza. L'accezione di "esistenza" usata da Meinong è forse troppo ristretta. Si potrebbe dire che alcune cose sono (altrimenti non potrebbero esser-così) ma non esistono spazio-temporalmente in questo mondo possibile.
6. Perchè poi le figure della geometria non esisterebbero ? Platone sarebbe d'accordo ? Non potrebbe esserci un mondo possibile molto semplificato ? Come può essere spiegato il fatto che nell'ambito di ciò che è conoscibile a posteriori un'asserzione di esser- così non si possa legittimare se non è basata sulla consapevolezza di un' esistenza ? L'esistenza è l'aposteriori ? Si riduce l'esistenza al fenomenico ? E allora come si spiega il divenire o l'apparire ? Per Meinong esistenza ed essenza sono totalmente separate ? In che senso è impossibile la montagna d'oro ? E perchè sarebbe impossibile ? Questo Meinong non lo spiega.
7. Meinong contraddice in parte quel che ha detto e soprattutto evidenzia esplicitamente la contraddizione insita nel concetto di non-esistenza. Meinong poi vorrebbe evitare i paradossi, ma se ogni oggetto è dato antecedentemente alla nostra decisione del suo non-essere e se io debbo prima afferrare l'oggetto per poterne dichiarare il non-essere, allora ciò implica che l'oggetto deve prima essere per poterne dichiarare il non-essere. Con la negazione si passa dal linguaggio al meta-linguaggio (e forse in Meinong la scelta del termine "obiettivo" al posto di "oggetto" non è casuale)
8. Se "p" allora p. Se c'è l'obiettivo allora c'è anche l'oggetto.
9. Perchè mai ci deve essere un terzo stadio ? L'essere dell'obiettivo "non-essere di x" non implica quantomeno la sussistenza di x ? Come fa Meinong a postulare una zona grigia tra Essere e non-essere ? Il quasi-essere non è lo statuto ontologico minimo, ma comunque positivo ? Il fatto che il non-essere dello stesso tipo non possa stare di fronte al quasi-essere è una tesi di marca hegeliana ? Le difficoltà del non-essere non presuppongono un atteggiamento parmenideo ? In realtà la posizione di Meinong è ambigua ed oscillante.
10. Meinong si trova nella difficoltà di dare conto di un terzo stadio di essere (oltre esistenza e sussistenza) quando non ha dato ragione di quali siano i limiti della sussistenza. Ades. quale può essere u esempio di insussistenza ?
11. Ogni oggetto è (anche quelli contenuti in obiettivi negativi), ma ci sono quelli che esistono (e l'esistenza è un predicato) e quelli che soltanto sussistono (le essenze). L'Essere è l'essere dato antecedentemente in quanto pura essenza sussistente, Di tale obiettivo sussistente bisogna determinare se esista come oggetto. L'esistenza va riconosciuta (è un predicato e dà luogo ad una conoscenza sintetica) , mentre l'essere non richiede riconoscimento successivo al proprio essere pensato. L'Essere non è la sussistenza perchè ci sono esistenti che non sono ancora oggetti di conoscenza ricompresi negli obiettivi. E la sussistenza è l'universo degli obiettivi.
12. L'essere dell'obiettivo negativo nega che l'oggetto sia ad un certo livello, afferma sempre implicitamente che c'è un livello in cui quell'oggetto è (esiste) . Tale affermazione implicita è logicamente necessaria. Si potrebbe dire che si parla di un oggetto che può essere o non-essere, se l'essere è un predicato e dunque non è una classe totale (è cioè esistenza o sussistenza, non Essere) e dunque se l'oggetto è categorialmente inquadrato. Ma l'obiettivo, inteso in sè, è (esiste) sempre, a meno che non diventi un oggetto, per cui è l'obiettivo il livello in cui l'essere non ha di fronte a sè un non-essere (Hegel). Perciò l'oggetto in quanto tale è proprio ciò di cui si può predicare o meno l'esistenza e/o la sussistenza, anche se invece l'essere non è un predicato ma una totalità onnicomprensiva transcategoriale ed ante-predicativa. La negazione dell'oggetto è il sussistere dell'obiettivo e il ristabilimento dell'oggetto nell'essere attraverso la sussistenza dell'obiettivo stesso.
13. L'essere come predicato (e dunque l'esistere e/o il sussistere) non si applicano all'oggetto nella misura in cui è. Ma l'oggetto può non sussistere (contraddizione) e può non esistere (diversità) . Non è eccezionale il fatto che l'oggetto sia al di là dell'essere (nel senso di esistere o sussistere) e del non-essere, ma connaturato al fatto che ogni oggetto è ed, in quanto è, è al di là dell'essere (così come sopra inteso) e del non-essere. Non è casuale se un oggetto esista e/o sussista. O quanto meno non è casuale se un oggetto non sussista (es. un circolo quadrato) nè è casuale che un oggetto non esista (es. una relazione). Ma può essere casuale che un oggetto esista (es. un cavallo alato) pur essendo sussistente.
14. Meinong forse vuol dire che l'oggetto è al di là di essere e non-essere, anche se per lui vale o la proposizione "X esiste" o "X non esiste", non valgono entrambe nè vale una terza. Sarebbe questo un kantismo che si estende sino alla logica. Tuttavia l'ontologia negativa non va bene, perchè il fatto che sia vera la proposizione "X esiste" (esistenza dell'obiettivo dell'essere) corrisponde al fatto che X esiste (esistenza dell'oggetto). Quando una proposizione (al di là di essere e non-essere) diventa enunciato, si trasforma in asserzione (essere) . Non si può però intendere la conoscenza di X senza presupporre l'essere di X. Ed allora è gioco forza l'estensione massima del concetto di Essere.
15. Meinong ristabilisce (dividendo conoscenza ed esistenza) la forza del platonismo e fonda la scientificità della matematica, anche se di quest'ultima va spiegata l'applicabilità al mondo naturale. Il ragionamento che Meinong fa a proposito della psicologia e della linguistica è un antidoto contro la svolta linguistica e/o psicologistica in filosofia.
16. Anche gli oggetti in quanto rappresentati hanno proprietà che con la psicologia hanno ben poco a che fare. Inoltre il bianco più chiaro di ogni altro che l'occhio umano abbia mai visto è un oggetto non rappresentato, ma che rimane pur sempre soltanto pensato. Inoltre la distinzione tra psichico e logico andrebbe tematizzata ed operata senza ripetere le parole "psichico" e "logico"
17. Per obiettivo essente Meinong intende una proposizione (funzione) all'interno della quale l'oggetto è un argomento ? Meinong vuole forse dire che 'verità' è una proprietà delle sole proposizioni ?
18. La scelta dell'esempio nel caso del perpetuum mobile è una scelta ambigua, perchè il contenuto dell'obiettivo è proprio il non-esistere dell'oggetto. Più senso avrebbe avuto la proposizione "L'ippogrifo è un animale", proposizione vera anche se l'ippogrifo non esiste in senso empirico naturalistico
19. Per rapporto tra conoscenza e conosciuto, Meinong intende una conoscenza analitica ? Inoltre quello di Meinong sembra essere un neokantismo senza noumeno : la conoscenza come funzione illimitata. Dunque la teoria dell'oggetto può essere una teoria della conoscenza dell'oggetto. Meinong da un lato condivide la critica allo psicologismo da parte di Husserl, ma dall'altro intende essenzialmente la logica come una tecnica e quindi mai del tutto pura da intenzioni pratiche. Inoltre considera i concetti comunque delle rappresentazioni e ritiene impossibile (nel caso della proposizione) prescindere dal processo psichico (assunzione o giudizio).
20. Cosa intende Meinong per "rappresentazione" ? Comunque la problematica che egli apre è importante : ad es. l'asserzione (che per Frege è importante) è astraibile dal giudizio psichicamente inteso ? Al tempo stesso è vero che il pensato ha delle strutture forse non causalmente ma logicamente autonome dallo psichico. Il problema è anche chiedersi cosa sia la dimensione psichica, dal momento che essa è (a mio parere erroneamente) ritenuta fonte di ogni soggettivismo.
21. Meinong poi però mentre considera la logica una scienza pratica, considera la teoria della conoscenza una scienza teoretica, forse perchè la logica essendo disciplina formale può essere utilizzata e la teoria della conoscenza no ? In realtà anche la teoria della conoscenza è a mio parere rientrante nella prasseologia. Hegel poi direbbe che dato il conoscere, quali sono le proprietà del conosciuto che rendono possibile il conoscere ?
22. L'alternativa di Meinong (tra essere delle cose non esistenti e loro essere nella psiche) è autentica ? L'essere fenomenologicamente dati è un essere nella psiche ? E cosa c'entra lo psichico con l'interiorità ? Parlare di interiorità non è un ossequio al naturalismo materialistico ? Inoltre non si potrebbe dire che l'oggetto è il reale spazio-temporale e l'obiettivo è il reale in un accezione più ampia (ente) ?
23. La teoria della conoscenza è pur sempre una teoria della ragion pratica (cioè una teoria degli oggetti come teoria della costituzione riduzionista degli oggetti (della genealogia cioè), mentre una teoria degli oggetti è un'ontologia. Inoltre in cosa differisce la teoria dell'oggetto dalla logica ?
24. La metafisica spiega alcune proprietà generalissime dei fenomeni attraverso il riferimento a realtà oltre i fenomeni. La teoria degli oggetti è la parte descrittiva della metafisica. ma la storia della metafisica dimostra (es. Platone) che la metafisica tratta dei problemi che le scienze usano per conoscere la realtà. Meinong infatti alla fine ammette che la metafisica forse storicamente non rientra nella sua definizione, ma presenta la sua tesi come una proposta metodologica (definizione operativa e pratica).
25. In che senso l'assurdo è dato ? E l'assurdo è intrinsecamente descrivibile o descrivibile solo per differenza col sussistente ? E la teoria dell'oggetto ha come oggetto il così-e-così o l'esser dato ? Cosa intende Meinong per oggetti (esser-così) che oltre a non esistere, manchino pure di essere ? Si riferisce ad entità dileguantisi come gli infinitesimi ? Ma allora perchè farebbe rientrare anche l'assurdo nella teoria dell'oggetto ? Quale oggetto potrebbe mai avere un obiettivo non essente ? Questo è un punto problematico ! O per "essere" si intende l'oggetto al di là dell'essere conosciuto ?
26. Le cosiddette conoscenze a priori sono quelle che Aristotele trattava nella Metafisica e nella Fisica (parzialmente) . Aristotele considerava cardine della metafisica il Pdnc (principio logico). La distinzione fatta da meinong tra metafisica e teoria degli oggetti sembra speciosa. Infine come si possono fare inferenze a partire dall'empiria, senza premettere delle ipotesi ?

Bolzano, la verità e la dimostrazione

Bolzano argomenta poi che, non importando solo che una teoria sia corretta, ma anche che tale correttezza sia evidente, sono allora necessarie specifiche dimostrazioni.
Per dimostrazione si intende la quintessenza delle proposizioni messe insieme per rendere evidente la verità di una proposizione, e perciò è forse sciocco voler dimostrare proposizioni evidenti o più evidenti di quelle tramite le quali avverrebbe la dimostrazione.
Bolzano aggiunge che nelle discipline matematiche contenenti concetti puri, bisognerà trovare una dimostrazione che deduca una proposizione data da proposizioni concettualmente pure e ciò mediante deduzioni perfette.
Partendo dalla distinzione tra proposizioni in sè e giudizi (o asserzioni) c'è anche una distinzione tra verità in sè e conoscenze (verità conosciute).
Al pari di tutte le cose reali, le conoscenze hanno cause ed effetti. Il giudizio che oggi l'aria è meno opprimente di ieri è provocato in me dal fatto che, osservando un barometro, ho notato che la colonnina di mercurio era più bassa di ieri.
Un rapporto analogo tra le nostre conoscenze è un rapporto che vale solo tra verità in sè (con alcune che valgono da fondamenti e altre da conseguenze). Questo rapporto tra verità in sè è il nesso oggettivo. Se affermo che certe conoscenze A, B, C, D producono in noi una nuova conoscenza M, da ciò non si deve immediatamente dedurre che A, B, C, D siano fondamenti ed M la conseguenza.
Chiameremo perciò soggettivi i fondamenti meramente conoscitivi ed invece chiameremo oggettivi i fondamenti autentici.
Ad es. la conoscenza che oggi il barometro è più basso di ieri (provocando in noi la conoscenza che la pressione dell'aria è oggi inferiore a ieri) si può considerare il fondamento soggettivo di questa ulteriore conoscenza, ma non ne è il fondamento oggettivo, ed anzi, al contrario, la pressione differente dell'aria è uno dei fondamenti parziali di cui l'abbassamento della colonnina di mercurio risulta come conseguenza.
Altro esempio è che la verità che il furto non è permesso è fondata oggettivamente sulle due verità che non è permesso nulla che turbi il bene comune e che il bene comune è turbato dal furto. Non si tratta qui del solo fondamento conoscitivo, ma l'autentico fondamento effettivo, sulla base del quale il furto non è permesso.
Infine un ultimo esempio dalla matematica se "..dati due punti A e B ne esiste un terzo C che ha dai due la medesima distanza che hanno l'uno dall'altro" altrettanto evidente è che "...due cerchi devono intersecarsi se uno è disegnato a partire da A e l'altro da B ed entrambi hanno raggio AB in uno stesso piano individuato da questi punti ".
In questo caso la prima verità contiene il fondamento della seconda, ma se si guarda il mero processo conoscitivo, si può ripresentare il rapporto inverso per cui dall'osservazione che i cerchi si intersecano, si può essere indotti a pensare che esiste un terzo punto C tale che CA=CB=AB.

Se tra verità in sè esiste effettivamente un nesso oggettivo, è importante imparare a conoscerlo in particolare perchè ci si può aspettare che la conoscenza del fondamento di una verità ci mette in grado di scoprirne altre non ancora note.
Soprattutto nelle scienze di pure verità concettuali (quali la matematica) se si può presumere che A, B, C, D siano il fondamento oggettivo di M, allora partire da A, B, C, D è anche la via più breve per convincerci di M.
Perciò ogni insegnamento rigorosamente scientifico non ci deve dare solo la mera certezza delle verità da esso stabilite, ma ci fa individuare ove possibile il nesso oggettivo tra le verità. Dove una verità ha il suo fondamento, tale fondamento va dimostrato e se si risale ad una verità senza ulteriore fondamento, ma che sia fondamento di altre, si dovrà allora mostrare che e come spetti ad essa tale notevolissima proprietà
Se si riesce con la stessa considerazione che vale a convincerci della verità di una proposizione, ad intravedere anche un fondamento effettivo, evidenziando come tale verità scaturisca da altre verità già esposte, allora converrà unificare il procedimento conoscitivo e quello logico.
Le considerazioni che producono entrambi i procedimenti appartengono alle dimostrazioni (o fondazioni). Le dimostrazioni che non danno certezza (acquisita già prima) sono fondazioni. Le dimostrazioni invece che conferiscono certezza senza indicare un fondamento oggettivo si dicono accertamenti.
Già Aristotele aveva introdotto la distinzione tra dimostrazioni che mostrano che qualcosa è (oti) e dimostrazioni che mostrano perchè qualcosa è (dioti) . Aristotele diceva che autentica episteme è solo quella dove ci fossero dimostrazioni del secondo tipo, giacchè si sa soltanto quando si sia in grado di indicare il perchè (giustificazione)
Proclo poi, dice Bolzano, a tal proposito, giustamente criticava gli Epicurei dicendo che il fatto che due lati di un triangolo presi insieme sono sempre più lunghi del terzo è forse manifesto ai sensi, ma la scienza deve indicare il fondamento del perchè sia così e Leibniz aggiunge che egli cerca le dimostrazioni persino degli assiomi, mentre Ladomus asserisce che fondare ciò che è chiaro non è la geometria, ma un'altra scienza che Bolzano chiama scienza dello spazio ( la topologia ? )
Bolzano però conclude che due testi (di cui uno rende tutto chiaro e certo, l'altro che rende comprensibile ciò che è chiaro e fonda ciò che è certo) non appartengono a due scienze diverse, ma sono esposizioni di un'unica e medesima scienza.
Egli poi dice che nell'insegnamento di una scienza rigorosa, bisogna far capire ad ogni passo come la nostra via conduca ad una certa meta, bisogna che ogni volta che si introduce un nuovo concetto si riesca a far notare come è utile considerarlo, bisogna che ogniqualvolta si stabilisca una proposizione, si mostri in qual modo essa si integri con la nostra disciplina, bisogna che nei casi in cui non si possa prevedere come sarà una proposizione, si conduca il lettore a ricercare una proposizione dello stesso tipo.
Bolzano poi evidenzia i limiti di una concezione per cui, nel discorso di una scienza rigorosa, non si debba mai formulare una proposizione, prima di aver premesso tutti i fondamenti. Egli nota che l'anticipazione a volte rende edotti dello scopo per cui si esegue una certa costruzione, altrimenti tutto sembrerebbe insensato. Bisogna per Bolzano iniziare con un problema, che ci indichi qual è l'obiettivo, lo scopo. La forma del problema si può adattare anche a teorie di altro tipo, dal momento che la verità non sempre è così intuitiva.
Bolzano poi enuncia una regola per cui la verità semplice deve essere premessa della verità più complessa e a parità di complessità, la verità più generale deve essere premessa a quella più particolare. Ad es. la verità per cui aree di figure simili si comportano come i quadrati di lati omologhi, è più generale e più semplice di quella che afferma la stessa cosa solo per i triangoli. Non è lo stesso se la verità più generale e più semplice di quella che afferma la stessa cosa solo per i triangoli. Non è lo stesso se la verità più generale sia più complessa di quella particolare.
Ad es. nella proposizione:

(1+n) alla n = 1+ nx + “n([n-1]/2) PER x alla 2”+ “n([n-1]/2) PER ([n-2]/3) PER x alla 3” + ad infinitum
"n" può designare qualsiasi tipo di numero purchè x sia minore di 1.

Questa proposizione è più generale di quella che afferma l'uguaglianza solo per un esponente positivo ed intero, e tuttavia è più complessa perchè il concetto di potenza con esponente qualunque è più composto di quello di potenza con esponenti interi. Bolzano dice pure che non è facile determinare l'ordine con cui devono succedersi le diverse verità appartenenti ad un'unica e medesima scienza matematica. Per poterlo decidere, si devo anzitutto possedere perfettamente gli elementi di cui è composto ogni concetto che compare in quelle verità. Nella geometria (aggiunge Bolzano) si ponevano all'inizio del discorso proposizioni ben prima che si potessero fondare oggettivamente e quindi se ne premettevano altre che si stabilivano (ed a volte no) in sezioni successive. Così se si deve dimostrare oggettivamente anche solo la singola verità che la linea retta è la più breve tra due punti, si devono far precedere alcune centinaia di proposizioni per lo più sinora tralasciate.

Bolzano poi parlando dell'insegnamento della matematica, sottolinea l'importanza del titolo che facilita i collegamenti del lettore sia raggruppando diversi temi, sia anticipando e sunteggiando i contenuti al dettaglio.

Last but not the least, Bolzano si occupa delle dimostrazioni apagogiche, solitamente usate in matematica, considerando l'opposto contraddittorio della proposizione da dimostrare. Si cerca di dimostrare che da tale opposto contraddittorio, risulta una conclusione palesemente falsa, se vengono assunte anche certe altre proposizioni già provate come vere. E' evidente che non potrebbe venir fuori questa conclusione falsa se fossero vere tutte le premesse da cui l'abbiamo dedotta. Se dunque tutte le altre premesse sono inconfutabili, dovrà essere falso l'opposto contraddittorio della verità da dimostrare e dunque quest'ultima dovrà essere vera. Tali dimostrazioni raggiungono lo scopo della certezza, ma si è sollevata l'obiezione che non farebbero riconoscere il fondamento oggettivo della verità da dimostrare. Bolzano dice che tale accusa non è sempre giustificata anche se il fondamento oggettivo su cui poggia una verità non può mai saltarci agli occhi con chiarezza. Bolzano aggiunge che si rimprovera non senza ragione a questo tipo di dimostrazioni il fatti che essere partono da una proposizione falsa. Infatti non si deve ammettere che la considerazione del falso sia una necessità inevitabile per ottenere la conoscenza del vero, potendosi piuttosto presumere che si debba riuscire a giungere alla stessa conclusione cui ci conduce la dimopstrazione apagogica considerando verità pure. Bolzano aggiunge che le verità che devono essere scelte al posto delle proposizioni false dell'apagogia, sono in generale proposizioni che risultano da queste ultime mediante una semplificazione, tralasciando le singole parti che le rendono proposizioni false. ma sebbene la dimostrazione che evita le assunzioni false sia più semplice di quella apagogica, quest'ultima però si presenta più facile e spesso si fa formulare più brevemente della prima, visto che non sempre le idee più semplici possono essere espresse più semplicemente.

Alle tesi di Bolzano possiamo fare le seguenti osservazioni :

1. Bolzano giustamente sottolinea che alla base delle verità logiche c'è l'evidenza. Ma ciò come si concilia con la separazione della logica dalla psicologia ? Inoltre se è possibile cognitivamente (e dunque psicologicamente) passare dalla consapevolezza della verità dei teoremi a quella della verità degli assiomi (mentre ciò non è logicamente possibile), come si può radicare la logica (dove la sequenza è univoca) con la psicologia (dove la sequenza può ben essere simmetrica e biunivoca) ?
2. Bolzano distingue giustamente tra presupposti genetici e presupposti validativi, tra certezza soggettiva e verità oggettiva, tra verificazioni e fondazioni, tra scienza e filosofia (logica)
3. Bolzano da un lato dice che, una volta raggiunto il livello fondativo, la procedura fondativa si rivela essere anche quello didatticamente, retoricamente e cognitivamente più semplice e conveniente. D'altro canto ribadisce la preferibilità pragmatica di un procedimento zetetico (basato sul partire da problemi)
4. Le dimostrazioni sono le procedure che al contempo indicano un fondamento oggettivo e danno certezza. Le fondazioni indicano un fondamento oggettivo ma non danno certezza (forse perchè il loro procedimento è un porre formalistico ed assiomatico che non si occupa del valore di verità delle premesse). Le verificazioni (accertamenti) danno certezza, ma non indicano un fondamento oggettivo.
5. Probabilmente le potenze con esponente qualunque non sono più complesse delle potenze con esponente intero, dal momento che un numero maggiore di segni (ricompreso dalla variabile) può ben essere inversamente proporzionale alla complessità del concetto. La variabile riferendosi a tutti gli esemplari può denotare le proprietà comuni a tutti gli esemplari, proprietà che non sono sicuramente maggiori a quelle possedute da ciascun esemplare individualmente considerato.
6. Infine Bolzano si dimostra consapevole della rilevanza dialettica e del carattere problematico delle dimostrazioni apagogiche e di quelle per assurdo. Tuttavia non articola un modello che eviti la necessità di partire da proposizioni che si dimostreranno false, per quanto ne dichiari la possibilità e l'opportunità.

Bolzano e la matematica come costruzione fondata sull'intuizione

Bolzano poi critica la tesi per cui la matematica sarebbe una scienza di costruzione di concetti tramite intuizioni.

Secondo questa teoria (presentata ad es. da Fries), sia in geometria, sia in aritmetica, non bastano espressioni discorsivamente determinate, ma ci vogliono figure dell'immaginazione che ci rendano intuitiva la materia : nella geometria con le figure, nell'aritmetica con cifre e lettere che contengano una rappresentazione intuitiva delle combinazioni numeriche stesse.

Bolzano a tal proposito dice che Fries, per quelle intuizioni che dovrebbero essere un aggiunta del tutto specifica alle spiegazioni dei concetti matematici, non intende altro che un oggetto sottostante il concetto ora spiegato, oggetto che la nostra immaginazione produttiva dovrebbe raffigurare nella spiegazione data per la geometria mentre per l'aritmetica dovrebbe essere nient'altro che un segno scritto qualunque che colleghiamo al concetto spiegato.

Tuttavia, aggiunge Bolzano, quel che si richiede non riguarda tutte le spiegazioni concettuali facenti parte della geometria: così ad es. anche il concetto di linea infinita è un concetto geometrico di cui bisogna fornire una spiegazione geometrica.

Eppure l'immaginazione produttiva non è in grado di costruire un oggetto corrispondente a questo concetto : una linea infinita non possiamo disegnarla con l'immaginazione, ma possiamo e dobbiamo pensarla solo con l'intelletto.

Inoltre la nostra immaginazione non è assolutamente in grado di raffigurarci il primo oggetto geometrico (il punto) : quel che ci raffigura è una macchiolina a cui dobbiamo togliere con l'intelletto le tre dimensioni.

Inoltre Bolzano dice che anche in altre scienze compaiono concetti che una figura rende intuitivi: ad es. in logica Euler, Lambert hanno reso intuitivi mediante figure i concetti di estensione di una rappresentazione e la teoria sillogistica. Per quanto invece riguarda la cosiddetta costruzione simbolica dell'aritmetica è evidente che designare le grandezze con lettere e le diverse operazioni con segni (+, - etc.) non cambia nulla nel modo in cui si devono intendere questi concetti, ma solo facilita il tenerli a mente e richiamarli alla memoria.

Semplificazioni simboliche simili ci sono state in altre scienze senza che nessuno abbia mai detto che ora in queste scienze i concetti si formano in modo diverso da prima.

E le parole stesse non sono pure segni intuitivi dei nostri concetti esattamente come l' (a+b) dell'algebra con la sola differenza che questi ultimi segni sono più facile da riconoscere e rappresentare ?

Per Bolzano inoltre il fatto che per il matematico è facile collegare intuizioni ai concetti non implica che egli non debba intraprendere una analisi dei concetti stessi. Sarebbe più comprensibile se tale facilità faccia derivare l'esigenza ulteriore non solo di chiarezza ma anche di intelligibilità. E' corretta certo l'affermazione che ad es. la spiegazione del cubo deve soltanto collegarsi ad un nesso che permetta al tempo stesso di dimostrare in qual modo si possa delimitare il cubo con 6 quadrati uguali.

Ma questo è il modo in cui si deve procedere in qualsiasi scienza e non è lo specifico delle scienze matematiche. Introducendo un concetto composto cui spetti oggettualità, non si deve darlo per presupposto senza una sua propria dimostrazione. Ma se indaghiamo sul modo in cui bisogna procedere in simili dimostrazioni si vedrà che queste dovranno essere condotte in modo nient'affatto diverso da quello di ogni altra scienza. Ovvero esclusivamente partire da pure verità concettuali, così da evitare ogni relazione a figure ed intuizioni dalle quali si possa dedurre qualcosa che non risulti dai concetti stessi. Ma se il modo in cui il discorso matematico deve organizzare le sue dimostrazioni obbedisce alle stesse leggi di ogni altra scienza puramente concettuale, il matematico certamente non potrà sottrarsi all'obbligo di rendere intellegibili tutti i concetti mediante l'analisi.

Bolzano poi critica chi disprezza le spiegazioni con segni caratteristici negativi (tipo angoli acuti e/o ottusi come angoli non-retti etc.) dicendo che una spiegazione è buona non appena indichi gli elementi di cui è composto il concetto da spiegare. E, come vi sono concetti affermativi, ve ne sono anche di negativi, generati dalla negazione di un segno caratteristico o dove in essi compaia come elemento il concetto di negazione.

Bolzano poi critica alcuni che credono che a partire dai concetti puri non si possa dimostrare alcuna verità sintetica e che vi sono piuttosto certe intuizioni, tramite le quali debba essere mediata ogni conoscenza sintetica. Bolzano si domanda retoricamente a cosa serve non riconoscere diritto ai sensi se se ne concedono invece all'immaginazione. Infatti quando si traggono deduzioni partendo dalla considerazione di una figura, è lo stesso vederla nella natura disegnata o in quella immaginata. Bolzano a tal proposito nota pure che il termine "intuizione" porta all'opposizione tra intuizione e concetto.

Bolzano aggiunge che le intuizioni sono di aiuto perchè possiamo supporre che ci sia una causa che le produce e poichè dall'effetto si possono dedurre le proprietà delle cause, dalle proprietà dell'intuizione possiamo dedurre una proprietà corrispondente dell'oggetto che la produce, e se ci sono più intuizioni analoghe, siamo giustificati con una certa probabilità a concludere che sono prodotte da oggetti simili e così ad es. possiamo convincerci che, invertendo l'ordine dei fattori, il prodotto non cambia, se tale è il risultato di una molteplicità di casi, in cui abbiamo fatto tale operazione. Ma in tal modo non si può ottenere certezza, ma solo probabilità. Inoltre perchè l'uso delle intuizioni debba convincerci dell'impossibilità del contrario, si deve presupporre che l'intuizione debba comprendere in sè concetti, cosa che estende troppo l'accezione del termine "intuizione".

Bolzano dice che è vero che il geometra nelle sue dimostrazioni non si ferma al mero concetto, ma a questo collega certi disegni grazie ai quali accetta qualche premessa come giusta. Ma è proprio impossibile ricavare tutte le premesse da semplici concetti ? E se tutte le figure servissero solo a designare più rapidamente e a ricordare più facilmente ciò che si è già dimostrato ?

In tal caso, dice Bolzano, non c'è opposizione tra conoscenza tramite intuizione e tramite concetti, in quanto potrebbe accadere che ciò che si colpisce osservando una certa linea retta di cui abbiamo tracciato il prolungamento, veniamo a conoscere la verità che ogni linea retta può essere prolungata, allora si dice che siamo arrivati a tale conoscenza tramite intuizione . Ma è altrettanto certo che si è potuto dedurre una verità così generale, solo perchè si è presupposta un'altra verità non intuitiva per cui tutte le rette sono simili.

Le osservazioni che si possono fare su queste tesi di Bolzano sono le seguenti:

1. Bolzano dice giustamente che non tutti gli oggetti matematici sono rappresentabili intuitivamente (es. una linea infinita, anche se i punti sospensivi possono essere segni che stanno per la stringa discorsiva "e così via all'infinito", stringa che svolge la sua funzione segnica grazie al fatto che intuiamo già intellettualmente l'Infinito e dunque ne comprendiamo il concetto).
2. Altro è l'esigenza didattica di rendere esplicitamente comprensibile un concetto, altro è subordinare a tale esplicitazione rappresentativa la valenza conoscitiva di un concetto. I segni infatti possono semplicemente stimolare un insight nel discente e dunque non debbono racchiudere per forza in essi l'intera portata del concetto a cui fanno riferimento (al contrario di quanto potrebbe pensare un Hilbert o più generalmente un finitista).
3. Il problema nasce però se l'insight non si genera : come si deve fare in questo caso ? Bolzano in questo senso non ci aiuta....anche se ha ragione a dire che i segni formali della matematica non sono più rappresentativi di quanto non siano le lettere dell'alfabeto nel svolgere la propria funzione segnica.
4. Bolzano critica profeticamente gli Intuizionisti (che non erano ancora apparsi...) quando dice che un concetto negativo è un concetto come tutti gli altri.
5. Più difficile è dire se il ruolo dell'immaginazione automaticamente valorizzi anche quello dei sensi : è vero che gli oggetti dell'immaginazione sembrano simili a quelli dei sensi, e tuttavia le combinazioni di qualia a cui si possono ridurre gli oggetti immaginati potrebbero avere logiche del tutto indipendenti dalla genesi sensoriale dei qualia.
6. Bolzano ha ragione nell'ipotizzare che nell'intuizione intellettuale ci sia molto di concettuale. A mio parere l'intuizione intellettuale coglie i concetti base delle scienze ed il loro carattere antinomico soggiacente e non sempre manifesto.
7. Il concetto nascosto nell'intuizione non è l'universalizzazione della proprietà intuita ("tutte le linee sono uguali"), ma la condizione di possibilità che rende possibile l'operazione fatta mediante le rappresentazioni intuitive (l'infinità della linea che rende possibile l'operazione di prolungarla con una matita quanto si vuole...)

Bolzano e la comunicazione scientifica

Bolzano dice che tutta la comunicazione in un libro si svolge tramite segni scritti ed è necessario che al lettore vengano foniti anche altri segni che insegnino l'uso dei primi segni. Anche nei trattati di scienze matematiche c'è una notevole quantità di segni specifici, la cui notevole perfezione è una delle cause principali dei notevoli progressi fatti da questa scienza.
Bolzano aggiunge che le regole sono in parte espressamente stabilite, in parte tacitamente osservate, Ci sono regole specifiche per l'invenzione di questi segni e regole per il loro uso. A tal proposito, due sono le regole da seguire:
A) non si adoperi per quanto possibile alcun segno, se prima non si è reso noto al principiante il suo significato (informazione). Tali informazioni consisteranno solo di proposizioni espresse tramite altri segni scritti. Se però bisogna dare informazioni al lettore sui segni di una rappresentazione composta, e se questa è formata da rappresentazioni semplici che hanno segni già noti al lettore, un eccellente mezzo di informazione consiste nell'ordinare i segni nello stesso ordine con cui le rappresentazioni semplici costituiscono le rappresentazioni composte (informazione mediante scomposizione analitica o spiegazione o determinazione concettuale) ad es. un triangolo viene chiamato isoscele se ha due lati uguali. Tale strumento non è sempre applicabile e non lo è ad es. con rappresentazioni assolutamente semplici nè con rappresentazioni composte di cui non conosciamo gli elementi. In questi casi ci sono altri mezzi di informazione di cui uno dei più generali è mettere insieme diverse proposizioni dove compare il concetto rappresentato collegandole di modo che non si pensi ad un altro concetto al suo posto. Confrontando queste proposizioni, i lettori possono desumere dal segno stesso il suo senso.
B) c'è poi il dovere in certi casi di giustificare specificamente la scelta del dato segno, mostrando che esso è conforma allo scopo scelto. Esso è particolarmente indicato quando ci prendiamo la libertà di introdurre un nuovo segno o di modificare il significato di un segno già in uso.
Bolzano poi dice che è impossibile evitare l'uso di segni e termini che non portino con sé una rappresentazione secondaria appartenente al concetto da designare. Se anche fosse possibile, aggiunge Bolzano, non sarebbe utile in quanto proprio quelle rappresentazioni ssecondarie facilitano il compito di cogliere certe verità. Sarebbe sbagliato solo servirsi di tali rappresentazioni secondarie per derivarne ciò che non sappiamo dedurre dai concetti stessi. Spesso si fa uso di termini tecnici, segni e locuzioni che, in forza di rappresentazioni secondarie, si allontanano dal loro significato originario. Ad es. nella teoria pura dei numeri e nella teoria pura delle grandezze si mantengono termini tecnici presi a prestito da certi rapporti che hanno luogo nello spazio e nel tempo, anche se i concetti di queste scienze non si fondano su rappresentazioni spazio temporali, in quanto è sempre possibile esporre queste teorie senza fondarle su proprietà di tempo e di spazio.
Seppure (continua Bolzano) si volesse dimostrare che non è possibile farlo o che in ogni esposizione si insinuano rappresentazioni spazio-temporali, ciò si dovrebbe dedurre non dalla mera circostanza che quei termini tecnici contengono rappresentazioni, ma si dovrebbe dimostrare che, o i concetti stessi contengono le rappresentazioni da evitare, oppure che nell'esporre le spiegazioni si siano dedotte conseguenze che non risultano dai concetti stabiliti, ma solo dai termini tecnici scelti per designarli, grazie alle rappresentazioni secondarie che essi comportano.
Per Bolzano rappresentazioni e proposizioni sono per noi intelligibili solo se si può chiarire se esse siano semplici o composte, ed in quest'ultimo caso di quali altre rappresentazioni più semplici esse consistano.
Bolzano aggiunge che lo sforzo di rendere intelligibili i nostri concetti e giudizi ci risolve molte difficoltà e chiarifica concetti che ci siamo formati gradualmente sin dall'infanzia, senza che siamo in grado di dire se siano semplici o composti.
Inoltre non sapremo mai dire con assoluta sicurezza se un concetto sia semplice o no; e se lo presentiamo come semplice dobbiamo far vedere che tutti i tentativi di renderlo composito non possono riuscire, mentre se lo vogliamo presentare come composto. dobbiamo far vedere che appunto è composta da altri concetti.
Bolzano poi accenna ad un metodo meno rigoroso (che sarà molto usato) e cioè mostrare che i concetti che vanno spiegati sono collegabili (o sostituibili) da altri concetti che, se non identici, saranno equivalenti: ad es. spieghiamo il concetto di "corpo esteso" come "un corpo tale che ogni suo punto abbia punti ad esso adiacenti per quanto piccola possa essere la loro distanza reciproca".
Bolzano a tal proposito dice che se saremo in grado di dedurre da questo concetto (definiens) tutte le proprietà che si conoscono dei corpi estesi, sarà allora dimostrato che il nostro concetto è equivalente al definiendum.
Bolzano a questo punto, partendo dalle tesi or esposte, critica i trattati scientifici, dove i primi e più importanti concetti (es. spazio) non sono spiegati e dove tali spiegazioni sono rinviate alla filosofia ed alla metafisica in quanto la matematica sarebbe costruzione di concetti tramite intuizione e non analisi di concetti non rappresentabili intuitivamente.
Bolzano a tale ragionamento obietta che è proprio della scienza che tratta di un oggetto, il luogo per un'analisi esatta del concetto di quest'oggetto. e tale analisi non serve a rendere chiari i concetti base, ma a rendere consapevole chi li usa.
Bolzano a tal proposito dice che se si pretende che il matematico non debba riflettere sui concetti che usa, si fa un'assurdità, giacché in nessun altra scienza quanto nella matematica ci sono concetti chiari quanto intellegibili; infatti, il matematico non solo disegna e designa il quadrato, ma lo spiega e lo definisce, e se non fa questo con i concetti di spazio e corpo, è perchè non è giunto ancora ai loro elementi costitutivi.
Per questo, dice Bolzano, la matematica dovendo riflettere criticamente sui propri fondamenti, non potrà più essere la scienza dove non c'è niente di controverso, ma già contiene questioni controverse (es. contraddizione, logaritmi di numeri negativi, quantità infinite e infinitesimi) a cui si aggiungono le questioni sui fondamenti.
Questo perchè, aggiunge Bolzano una scienza sistematica che non si occupi delle controversie corre dei rischi.
Bolzano conclude questa parte del suo ragionamento dicendo che ci sono alcuni per i quali, più che riflettere sulle proprie basi, la matematica dovrebbe estendere i propri confini.

Molte osservazioni andrebbero fatte su queste tesi:

• La prima è che l'analisi logica va perfezionata dall'analisi semantico-lessicale e dunque deve avere in sè un riferimento storico ed ermeneutico.
• La seconda è che la riflessione sugli strumenti delle singole scienze può essere fatta anche dagli scienziati, ma si tratta sempre di filosofia.
• La matematica può trattare i concetti di piano e di figura, ma non quelli di spazio e di corpo, che pertengono maggiormente alla fisica.
• La questione tra istanze fondative ed istanze estensive all'interno della matematica anticipa forse le interpretazioni della prova di Godel
• Bolzano ha ragione a considerare la sostituzione per equivalente vero-funzionale come un metodo di ripiego nell'ambito della comunicazione scientifica. Egli anticipa le critiche che si possono fare circa la superficialità delle soluzioni neopositiviste al problema delle lingue e dei linguaggi
• Bolzano intuisce anche l'importanza delle rappresentazioni secondarie e di quelle che Frege chiama illustrazioni nella questione della comunicazione scientifica
• L'esistenza di un linguaggio formale e di un altro linguaggio che si riferisce ad esso fa pensare alla storicamente successiva questione dei rapporti tra linguaggio e metalinguaggio.