Ideografia e abusi demagogici

Da una lingua logicamente perfetta (Ideografia) si deve pretendere che ogni espressione che sia costituita come nome proprio a partire da segni già introdotti e secondo ben precise regole grammaticali, designi di fatto anche un oggetto e che non venga introdotto alcun nuovo segno come nome proprio senza che gli sia assicurata una denotazione.
La storia della matematica ci può indicare molti errori che hanno proprio questa origine. E forse l'abuso demagogico che facciamo della lingua dipende più da questo fattore che dall'ambiguità delle parole. L'espressione ad es. "La volontà del popolo" è un esempio dell'abuso di parole fatto demagogicamente. Sarà infatti facile constatare che, a dir poco, non ha una denotazione generalmente accettata.
Non è dunque senza importanza eliminare una volta per tutte almeno dalla scienza la fonte di questi errori. Fatta questa operazione non saranno possibili obiezioni come quelle sopra discusse, perchè non potrà dipendere dalla verità di un pensiero se un nome proprio ha o non ha una denotazione.

Come un' espressione può essere costituita come nome proprio a partire da segni già introdotti e secondo ben precise regole grammaticali ? Forse Frege si riferisce all'uso di "un" e "il" o dei loro corrispettivi in un linguaggio formale ? E questo basta per fornire denotazione ad un nome proprio ? Non saremmo in pieno approccio neo-meinonghiano ? E perchè la "volontà del popolo" sarebbe un abuso linguistico ? Non sono stati usati segni già esistenti ? E quali regole grammaticali questa locuzione avrebbe violato ? Quelle che Frege non aveva l'ardire di esplicitare ? Quelle che i neopositivisti hanno esplicitato con esiti suicidi ?

Senso, denotazione e rappresentazione in Frege

Dalla denotazione e dal senso va distinta la rappresentazione che accompagna il segno. Se la denotazione è un oggetto percepibile con i sensi, la rappresentazione è un'immagine interna, originata dal ricordo di impressioni sensoriali e attività psichiche. Al medesimo senso non si lega la medesima rappresentazione neppure nella stessa persona. Essa è soggettiva e varia da persona a persona. Il senso invece può essere un possesso comune di molte persone e non è una parte o un modo della psiche individuale. Grazie al senso, l'umanità ha un patrimonio comune di pensieri che trasmette di generazione in generazione. Ma come ad un termine uno può collegare due rappresentazioni, non si possono collegare ad un termine due sensi diversi ? Ciò non impedisce a due soggetti di afferrare il medesimo senso, mentre è impossibile avere la stessa rappresentazione nè è possibile un confronto.
Denotazione di un nome proprio è l'oggetto che indichiamo con esso : fra segno e oggetto sta il senso che non è soggettivo come la rappresentazione, ma non coincide con l'oggetto stesso. Una similitudine è quella per cui la Luna è come l'oggetto , l'immagine reale prodotta nel cannocchiale è come il senso (unilaterale perchè dipende dai punti di vista, ma oggettiva perchè condivisibile da più spettatori) mentre l'immagine retinica nell'osservatore è come la rappresentazione.
Ci sono tre livelli di differenza tra espressioni : differenza tra rappresentazioni, differenza tra sensi, differenza tra denotazioni. Relativamente alle differenze del primo tipo, a causa del collegamento incerto tra rappresentazione e parola può sussistere una diversità per un individuo laddove un altro non riesce a vederla.
Le differenze tra una traduzione ed un testo non dovrebbero andare oltre questo primo livello. Altre possibili differenze sono coloriture e sfumature che l'arte poetica cerca di dare al senso del discorso e che no sono oggettive. Senza un'affinità delle rappresentazioni umane l'arte non sarebbe possibile, ma quanta corrispondenza ci sia tra le nostre rappresentazioni e le intenzioni del poeta non può mai essere verificato con esattezza.
Volendo sintetizzare, un nome proprio (parola, segno, connessione di segni, espressioni) esprime il suo senso e designa la sua denotazione.
Ma come si farebbe a sapere che 'la Luna' abbia una denotazione ? Noi in realtà presupponiamo la denotazione della luna quando parliamo di essa. Noi non vogliamo parlare della rappresentazione della luna, altrimenti il senso darebbe del tutto diverso, Certo ci possiamo sbagliare, ma per ora è sufficiente rimandare alla nostra intenzione nel parlare o nel pensare, perchè si tratta di sapere se in generale è giustificabile parlare di denotazione di un segno


Quanto al rapporto tra segno, senso e rappresentazione si possono fare queste domande : Un'insieme di segni grafici non è forse una rappresentazione ? E una rappresentazione figurata non ha una struttura semantica ? Cos'è che fa privilegiare un sistema di segni grafici o un insieme di suoni rispetto ad una rappresentazione figurata ? Perchè forse un sistema di segni grafici sembra aver a che fare con un significato logico in maniera più diretta che non un'immagine ? E perchè ?
Un sistema di segni fa da segno più di quanto non potrebbe una rappresentazione ? La rappresentazione (intuitiva o fantastica) non è un termine medio tra segno e senso, o tra senso e denotazione ?
Quanto all'argomento di Frege sulla soggettività della rappresentazione in quanto variabile da uomo a uomo, questo vale anche per il segno che è appunto soggettivo, storicamente mutevole, molteplice rispetto ad un solo sinn. Eppure sia il segno che la rappresentazione (che semioticamente è un insieme di segni) mantengono un legame cognitivo con l'oggetto, tanto che si può ipotizzare che il segno sia il risultato di quel modo di darsi dell'oggetto denotato che è il senso (sinn). Il darsi dell'oggetto nel senso produce il segno ?
Inoltre l'equivocità del segno, che significa più sinn o con l'etimologia rimanda a più sinn, può anche essere l'indizio che permette di collegare tra loro più sensi che a prima vista sono radicalmente diversi. La ricerca heideggeriana sul linguaggio forse trova spunto da qui.
Frege erroneamente poi contrappone la rappresentazione al senso di un segno, attribuendo senso solo al segno grafico. La semiotica farà invece giustizia di questo riduzionismo (che ricorda per certi versi lo stesso Croce) Inoltre, sempre erroneamente Frege dice che non si può parlare di una rappresentazione senza precisare a chi appartenga. Questa concezione però semplicemente presuppone la soggettività di una rappresentazione, mentre essenziale di una rappresentazione è il contenuto della stessa (che potrebbe essere non altri che il sinn). Frege, anche se poi in un altro punto riconosce l'esistenza di un patrimonio intersoggettivo di senso (la cultura) finisce comunque per ridurre la rappresentazione ad un evento privato (psichico), mentre anch'essa, come il senso, ha una dimensione eminentemente culturale.
Quindi è possibile allungare la sequenza troppo semplicistica di Frege (segno-senso-denotazione) nella sequenza segno-rappresentazione-sinn-sense/data- oggetto-ente
Quanto all'analogia fatta da Frege tra la [la luna, l'immagine riprodotta dall'obiettivo e l'immagine retinica] e [la denotazione, il senso e la rappresentazione], c'è da dire che si tratta di un'analogia forse inappropriata, in quanto l'immagine dell'obbiettivo ha più qualcosa del sense-data che non del sinn, che ha una connotazione più logico-semantica che percettiva. L'immagine dell'obiettivo è poi una rappresentazione materiale di un sense-data e così pure l'immagine retinica (e nessuna delle due è secondaria rispetto all'altra).
Relativamente alla tesi di Frege che la poesia e la traduzione si collocano ad un livello tra segno e rappresentazione, non c'è niente di più sbagliato : esse si collocano ad un livello tra segno, senso ed esperienza, in quanto riguardano proprio la rappresentazione ed il linguaggio storico-naturale che Frege mette erroneamente in secondo piano.

Senso e denotazione diretta e indiretta in Frege

Dunque, pensando ad un segno, dobbiamo collegare ad esso due cose distinte : oltre a ciò che è designato (la denotazione del segno), anche il senso del segno, ossia il modo con cui l'oggetto designato ci viene dato. La denotazione ad es. di "Punto di incontro di 'r' ed 's' " è identico a quello dell'espressione "punto di incontro di 's' e 't'" come pure "stella del mattino" e "stella della sera".
Si sta parlando di una designazione fungente da nome proprio, che denota un oggetto determinato. Il senso del nome proprio viene afferrato da chiunque conosca sufficientemente la lingua. Per un nome proprio come "Aristotele" le opinioni circa il suo senso possono essere differenti (es. "Lo scolaro di Platone", "Il maestro di Alessandro Magno"). Tali oscillazioni del senso si possono tollerare solo se la denotazione rimane la stessa, anche se bisogna evitarle nella costruzione di una scienza dimostrativa e di una lingua perfetta. In tal modo però la denotazione viene sempre conosciuta parzialmente (attraverso i suoi sinn). Per una sua totale conoscenza, bisognerebbe poter stabilire, dato un qualunque senso, se si addica alla denotazione : ma non arriviamo mai a questo punto.
In genere i rapporti usuali tra segno, senso e denotazione sono : I) Ad un segno corrisponde un senso determinato cui corrisponde una denotazione determinata. II) Invece ad una denotazione corrispondono più sensi e ad un senso più segni; un senso può essere espresso in modi diversi nelle diverse lingue ed anche nella stessa lingua. Ci sono comunque eccezioni alla regola : in un completo sistema di segni ad ogni espressione dovrebbe corrispondere un senso determinato, ma il più delle volte nelle lingue naturali tale condizione non è soddisfatta ed è già tanto, quando la medesima frase ha il medesimo senso nella stesso contesto.
Forse si può ammettere che un'espressione ben costruita che funga da nome proprio, abbia sempre un senso. Ma non è detto che al senso corrisponda sempre una denotazione. "Il corpo celeste più lontano dalla terra" ha un senso, ma forse non una denotazione e sicuramente la denotazione non la ha "La serie meno convergente".
Quando abitualmente si usano parole, ciò di cui si vuole parlare è la loro denotazione (l'oggetto cui si riferiscono). Può capitare che si voglia parlare delle parole stesse o del loro senso ed allora si hanno dei segni di segni: in tal caso si usano le virgolette e la parola racchiusa tra virgolette non può essere assunta nella denotazione abituale.
Quando ci si vuole riferire al senso dell' espressione "A" si può far uso della locuzione "Il senso di 'A' ". Il discorso indiretto si riferisce in genere al senso delle proposizioni. In questo caso le parole non hanno la denotazione ordinaria, ma denotano ciò che è il loro senso. Le parole nel discorso indiretto vengono udate indirettamente ovvero hanno una denotazione indiretta. Distinguiamo la denotazione ordinaria da quella indiretta, il senso ordinario da quello indiretto.
La denotazione indiretta di un termine è il suo senso ordinario (abituale).


Sulla questione del sinn e del bedeutung si può dire invece che da un lato il nome proprio non ha una relazione specifica con la grammatica della lingua nella quale è inserito : a volte i nomi propri sono gli stessi in più lingue, per cui non è chiaro come un parlante lo può riportare al senso nella sua lingua. E' necessario per affrontare questo problema innanzitutto fare delle distinzioni all'interno della categoria dei nomi propri.
In secondo luogo "stella del mattino" e "stella della sera" non sono dei sinn diversi, ma sono diversi sense-data, identificati da una teoria scientifica. Partendo da questa constatazione, scienza e metafisica si rivelano come procedimenti grazie ai quali i sense-data diventano sinn e la denotazione viene proiettata oltre ciò che è osservabile : nella scienza i sense-data diventano cose, mentre nella metafisica le cose vengono innalzate al rango di enti, dotati di una certa qual immutabilità ed eternità.
Frege inoltre sembra dire che, per conoscere compiutamente un oggetto, bisogna passare in rassegna tutti i suoi possibili sinn ed attribuire eventualmente all'oggetto i sinn ad esso appropriati.
A questo punto possiamo elaborare una possibile soluzione circa il problema evidenziato da Frege circa l'identità come relazione tra oggetti o tra segni.
Lo schema è il seguente :
A=A identità di un oggetto con se stesso (principio logico)
A=B due segni stanno per due sensi che si riferiscono alla stessa denotazione (identità stabilita attraverso un'indagine, conoscenza sintetica)
A1 = A2 due oggetti sono indiscernibili, sono identici ma non sono lo stesso oggetto
Si può inoltre parlare di eguaglianza (o equivalenza) quando due oggetti sono identici per un particolare aspetto considerato sostanziale in un contesto teorico dato.E' oggetto di un equazione, di un giudizio, di una valutazione
Si parla invece di identità nel caso ci sia tra due oggetti che sono iso-morfi e cioè hanno la stessa forma o lo stesso aspetto percettivo. Trattasi di una relazione individuata percettivamente.
Si parla infine di "stessità", nel senso dell'identità metafisica, che viene stabilità attraverso un'intuizione mistica o argomentata come variante di un'equivalenza in cui l'aspetto considerato ha una valenza etico-spirituale più che scientifica.
Quanto al problema evidenziato da Frege dei nomi che hanno un senso ma non una denotazione, si può osservare che i sinn sono a loro volta oggetti ad un livello di esistenza diverso di quello degli oggetti cui essi fanno riferimento, per cui un segno che abbia un senso ma non una denotazione, ha come propria denotazione lo stesso sinn. Ad es. "Il cognato di Napoleone" può benissimo non identificarsi con "l'ufficiale napoleonico fucilato dai suoi nemici" ed avere uno statuto ontologico separato e non individualizzabile stabilmente in un nome. Per cui la locuzione ha una denotazione immediata ad un diverso livello ontologico.
Forse si può anche ipotizzare che il mero nominare è come la linea più breve tra un segno ed un oggetto, mentre i sinn sono le altre linee (più elaborate) che possono collegare i due termini.
Quanto infine alle virgolette ed all'uso del discorso indiretto si possono fare le seguenti osservazioni : Se la denotazione del termine virgolettato è il senso del termine non virgolettato, cos'è a sua volta il senso del termine non virgolettato ? Non potrebbe essere che la denotazione del termine virgolettato (metalinguistico) sia il nome (segno) linguistico e il senso sia appunto il senso di "Il nome 'casa' " ad es. ?
Inoltre la denotazione del senso fa del senso un oggetto ? Non ci sarebbe alcun motivo per pensare il contrario e ciò renderebbe ancor più plausibile una teoria neo-meinonghiana dei diversi livelli d'esistenza. Il senso è denotazione indiretta in quanto è un riferimento ai predicato dell'oggetto grazie ai quali in maniera mediata si attinge all'oggetto stesso. Il discorso indiretto denotando il senso presupporrebbe un livello di esistenza in cui il senso possa essere denotato, mentre con la parafrasi (possibile con il discorso indiretto) c'è un processo epistemico in forza del quale presupponendo che diversi sensi abbiano la stessa denotazione ad un livello ontologico dato si possa passare da un senso ad un altro nel tentativo ad es. di ottenere lo scopo pragmatico di un trasferimento di informazioni.

Frege e l'uguaglianza

Nel famoso articolo di Frege "Sul senso e la denotazione" ci si domanda inizialmente cosa sia l'uguaglianza, se sia una relazione tra oggetti o una relazione tra nomi. A favore di quest'ultima ipotesi c'è il fatto che A=A e A=B sembrano proposizioni aventi un valore conoscitivo diverso : A=A vale a priori e andrebbe definita analitica, mentre A=B contiene ampliamenti dela conoscenza e non sempre si può fondare a priori. La scoperta che sorge sempre lo stesso sole è stata una grande scoperta astronomica, così come riconoscere che in diverse osservazioni si ha a che fare con lo stesso pianeta non è cosa facile.
Se nell'uguaglianza volessimo vedere una relazione tra ciò che i nomi "A" e "B" denotano (gli oggetti che designano) scomparirebbe ogni diversità tra A=A e A=B, ammesso che l'oggetto 'A' sia proprio uguale all'oggetto 'B'. In questo caso l'uguaglianza esprimerebbe la relazione di una cosa con se stessa, ma che nessuna cosa avrebbe con un'altra.
Perciò sembra che con A=B si intenda che i segni (nomi) per oggetti denotano la stessa cosa (e dunque si tratterebbe di una relazione tra segni). Tali relazioni però sussisterebbero solo tra nomi che designano qualcosa e sarebbe resa possibile dalla connessione dei due segni con la medesima cosa designata. Ma se fosse così, il rapporto di uguaglianza sarebbe arbitrario, giacché non si può impedire a nessuno di assumere, come segno di qualcosa, un qualsiasi oggetto o evento preso arbitrariamente.
A=B riguarderebbe solo il nostro modo di designazione e dunque non esprimerebbe conoscenza. Se il segno 'A' si distinguesse dal segno 'B' solo perchè ha materialmente una forma diversa e non per il modo in cui designa qualcosa, il valore conoscitivo di A=A sarebbe lo stesso di A=B (sempre che sia ammessa la verità di A=B). La teoria che vede nell'eguaglianza un rapporto tra nomi si troverebbe di fronte alle stessa difficoltà in cui si trova la teoria dell'uguaglianza intesa come rapporto tra oggetti : l'impossibilità cioè di distinguere alla fine il valore conoscitivo delle due proposizioni A=A e A=B. Ci può essere una differenza solo se alla diversità del segno corrisponda ad una diversità del modo in cui è dato l'oggetto designato : ad es. 'x' può essere il punto di incontro di 'a' e 'b' e il punto di incontro di 'b' e 'c' al tempo stesso; tali nomi, nel mentre ci designano lo stesso oggetto, indicano anche il modo particolare con cui quest'oggetto viene dato.

Nell’analizzare la posizione di Frege partiamo dalla sua concezione dell’identità.
In primo luogo non è del tutto vero che, considerando l'identità come rapporto tra cose non ci sarebbe differenza tra A=A e A=B, dal momento che quest'ultima potrebbe benissimo essere l'identità leibniziana degli indiscernibili e cioè di due oggetti distinguibili solo per il loro ordine nello spazio e nel tempo (per cui di esse si predica il numero "due").
In secondo luogo non è del tutto vero che se A=B riguardasse solo i segni non potrebbe esprimere alcuna conoscenza. Si potrebbe infatti dire che "ciò che sinora abbiamo considerato segni per oggetti diversi si riferiscono invece alla stessa entità" : è ad es. il caso dei mistici che dicono che "Allah" e "Dio" siano lo stesso Padre del genere umano.
Frege a tal proposito associa troppo strettamente segno e convenzionalità. Ma la cultura non è la dimensione dell'arbitrio ed una volta prodotta finisce per condizionare e vincolare anche chi la produce. Verso la cultura non siamo del tutto liberi : liberarci dei pregiudizi è a volte conoscenza nel senso forte del termine.
Originariamente se il segno aveva forma diversa in qualche modo diceva una cosa diversa dell'oggetto designato (è il caso dei pittogrammi che evidenziano proprietà ed aspetti simbolici diversi degli oggetti a seconda delle civiltà che li rappresentano).
Altro poi è l'arbitrio presunto nella scelta di un segno, altro è l'arbitrio del rapporto tra segni : il primo arbitrio non presuppone affatto il secondo.

Funzione e concetto in G. Frege

Frege nel saggio "Funzione e concetto" tratta del rapporto tra la nozione filosofica di "funzione" e quella logica di "concetto".
Egli inizia con il trattare della nozione ristretta di funzione (che egli ammette aver ampliato nel corso della storia il suo ambito di riferimento) e dice che, a proposito delle funzioni matematiche ad un argomento, la necessità di loro definizione nacque quando all'epoca della scoperta dell'analisi matematica superiore, si trattò di stabilire delle leggi che valessero appunto per le funzioni, che cioè ne disciplinassero l'uso. La risposta che si è potuta ottenere storicamente è che per funzione di x, cioè F(x), si intende un'espressione di calcolo (formula) contenente x. Perciò in tal caso "2 + x" sarebbe una funzione di x, mentre "2x2+2" sarebbe una funzione di 2.
Frege però obietta che tale risposta non è soddisfacente dal momento che non distingue la forma dal contenuto, il segno dal designato. Questa è un limite che consegue dal formalismo, il quale parla di segni senza contenuto e poi attribuisce loro proprietà compatibili solo con il contenuto dei segni.
Ma allora cos'è il contenuto, la denotazione di "2X2+2" ? La stessa cosa che la denotazione di "6" ovvero di "2x3" ?
Frege dice a questo proposito che ciò che è espresso nell'equazione " 2x2+2 = 6 " è che la denotazione del complesso di segni che si trova a destra è la stessa di quello che si trova a sinistra. Chi dice che "2+5" e "3+4" sono eguali, ma non sono la stessa cosa, finisce anch'egli per confondere tra segno e designato, tra forma e contenuto, come se si volesse vedere nella violetta profumata un fiore diverso dalla viola odorata, solo perchè i due nomi suonano diversamente. La diversità della designazione non può da sola essere sufficiente a fondare la diversità del designato.
Frege ammette che nel campo matematico le cose sono meno chiare, perchè la denotazione del numerale '7' non ha nulla di sensibilmente percepibile. La tendenza a non riconoscere come oggetto nulla che non si possa percepire con i sensi porta a sua volta a ritenere che gli stessi numerali siano i numeri ed in questo caso '7' e '2+5' sarebbero certamente diversi.
Frege sostiene l'insostenibilità di simile concezione in quanto non si può parlare di alcuna proprietà aritmetica del numero senza rifarsi alla denotazione del numerale : ad es. la proprietà che ha '1' di essere il risultato della moltiplicazione di sè per sè sarebbe allora una pura invenzione, giacchè nessuna ricerca microscopica o chimica per quanto approfondita potrebbe scoprire tale proprietà nella figura che chiamiamo "numerale". E per quanto possa trattarsi di definizioni, nessuna definizione può avere capacità creatrici tali da concedere ad una cosa proprietà che essa non ha a parte quella di esprimere e designare ciò di cui la definizione stessa ce la presenta come segno (se mancano tanto il senso che la denotazione non si può parlare nè di segno nè di definizione).
Si pensi al fatto, aggiunge Frege che un giorno si potrebbero introdurre numerali del tutto nuovi (come i numeri indiani rispetto a quelli romani), ma nessuno può ritenere di avere a che fare con numeri del tutto nuovi.
Se si deve allora distinguere tra numerale e la sua denotazione, allora si dovrà anche riconoscere che le espressioni "2", "1+1", "3-1" hanno la stessa denotazione, giacchè non si vede in cosa consista la differenza. Qualcuno potrebbe dire che "1+1" è una somma e 6/3 un quoziente. Ma cos'è 6/3 ? Il numero che, moltiplicato per '3' dà '6'. IL numero e non UN numero : l'articolo determinativo indica che ce ne è uno solo.
Dunque le diverse espressioni, conclude Frege, corrispondono a diverse apprensioni ed aspetti della cosa, che resta sempre la stessa. Altrimenti dovremmo dire che l'equazione "a x a = 4" ha non solo le radici "+2" e "-2", ma anche "1+1" e infinite altre diverse tra loro. Se invece si riconosce che l'equazione ha solo due radici reali, si respinge l'opinione che il segno di eguaglianza non denota alcuna completa coincidenza, ma solo un accordo parziale.
Le espressioni di calcolo denotano numeri. E perciò se le funzioni fossero solo la denotazione di un'espressione di calcolo, allora sarebbe proprio un numero e con essa non avremmo acquisito niente di nuovo per l'aritmetica. E' vero però che chi usa la parola "funzione" è solito pensare ad espressioni in cui un numero, per mezzo di una lettera (es. x), è indicato solo in modo indeterminato : ciò però non cambia niente, giacchè quest'espressione indica pur sempre un numero per quanto in modo indeterminato. Tuttavia è proprio questa notazione, che usa la x per indicare in modo indeterminato, a metterci sulla strada giusta. Si chiama 'x' l'argomento della funzione e in (2 x 1 + 1) o (2 x 4 + 4) o (2 x 5 + 5), si riconosce la stessa funzione, solo con diversi argomenti (1,4,5). L'essenza propria della funzione sta in ciò che è comune a quelle espressioni, ciò che è presente in "2 x a + a" (abbiamo messo "a" al posto di "x") e che potremmo scrivere "2 x ( )+( )".
L'argomento, continua Frege, non appartiene alla funzione, ma forma con la funzione un tutto completo : infatti la funzione di per sè sola è incompleta, è insatura ed ha bisogno di completamento. In ciò risiede la differenza tra funzioni e numeri. L'incompletezza è l'essenza stessa della funzione e grazie ad essa noi riconosciamo la stessa funzione in formule che denotano diversi numeri, mentre riconosciamo diverse funzioni in formule che denotano lo stesso numero come ad es. "2 x 1 + 1" e "4-1". Per questo inoltre siamo facilmente indotti a vedere nella forma dell'espressione l'essenza della funzione. Nell'espressione riconosciamo la funzione per il fatto che la pensiamo scomposta e questa sua possibile scomposizione ci viene resa comprensibile dalla sua formazione.
Il segno dell'argomento e l'espressione della funzione (le due parti in cui viene scomposta la formula) sono eterogenee, perchè l'argomento è un numero, un tutto in sè conchiuso, cosa che la funzione non è. ciò può essere paragonato alla divisione di un segmento con un punto, dove si è inclini a calcolare il punto di divisione per entrambe le parti del segmento. Ma per evitare di calcolare due volte bisogna calcolare il punto di divisione solo per una parte del segmento. Questa parte è in sè pienamente conchiusa e va paragonata all'argomento, mentre dall'altra parte mancherà qualcosa. Infatti non le appartiene il punto di divisione che la completa. Se ad es. si dicesse "La funzione '2 x a + a' ", allora (a)non è da considerare come appartenente alla funzione, ma la lettera serve solo ad indicare l'integrazione necessaria, rendendo noto dove deve essere introdotto il segno dell'argomento.
Ciò che si ottiene quando si completa la funzione con il suo argomento, lo chiamiamo valore della funzione per questo argomento. Ad es. '3' è il valore della funzione "2 x a + a" per l'argomento '1' (2 x 1 + 1 = 3).
Ci sono funzioni, come ad es. "2+a-a" oppure "2+0xa", il cui valore è sempre lo stesso, qualunque sia il suo argomento. Se si calcolasse l'argomento come appartenenente alla funzione, si dovrebbe dire che il numero '2' è questa funzione. Ma non è giusto perchè comunque la funzione deve essere distinta da '2'. Infatti l'espressione di questa funzione deve sempre indicare uno o più posti che sono destinati ad essere riempiti dal segno dell'argomento.
Ad es. nella geometria analitica considerando l'argomento come valore numerico di una ascissa e il corrispondente valore della funzione come valore numerico dell'ordinata di un punto, otterremmo un insieme di punti che nei casi ordinari si presenta all'intuizione come una curva. Ogni punto della curva corrisponde ad un argomento ed al rispettivo valore della funzione. Ad es. "y = (a x a) - 4a" ci dà un a parabola; "y" indica il valore della funzione e il valore numerico dell'ordinata, mentre "a" indica l'argomento e il valore numerico dell'ascissa. Se facciamo il confronto con la funzione "a(a-4)" troveremo che le due funzioni hanno sempre lo stesso valore per lo stesso argomento e la curva della prima è la stessa di quella della seconda. Così la funzione "a(a-4)" ha lo stesso decorso di valori della funzione "(a x a) - 4a". Se scriviamo "a(a-4) = (a x a)- 4a" non eguagliamo una funzione all'altra, ma ci limitiamo ad eguagliare i valori delle due funzioni. E se intendiamo questa equazione in modo che debba valere per qualunque argomento sia sostituito ad x (o ad 'a'), avremo così espresso la generalità di un'equazione. Potremmo però anche dire "Il decorso di valori della funzione a(a-4) è uguale a quello della funzione (a x a - 4a)" ed avremo allora un'equazione tra decorsi di valori. Che sia possibile concepire la generalità di un'equazione tra valori di funzioni come un'equazione tra decorsi di valori, deve essere ritenuto una legge fondamentale anche se non ancora dimostrabile (funzione, nel senso del termine qui utilizzato, è l'antecedente logico del concetto di decorso di valori).
Si può ora, dice Frege, anche introdurre un breve modo di designare il decorso di valori di una funzione, sostituendo con una lettera maiuscola il segno dell'argomento e chiudendo tutto tra parentesi. Così E(E x E - 4E) è il decorso di valori di (a x a - 4a), mentre A(A x (A - 4)) è il decorso di valori di a(a-4), cosicchè in "E(E x E - 4E) = A(A x (A - 4))" si esprime che il primo decorso di valori è lo stesso che il secondo. L'espressione "a(a-4) = (a x a)- 4a" esprime lo stesso senso, ma in modo diverso. esso rappresenta il senso come generalità di un'equazione, mentre la nuova espressione introdotta è semplicemente un'equazione in cui sia la parte destra sia quella sinistra hanno una denotazione in sè conclusa.
Mentre in "a(a-4) = (a x a)- 4a" sia la parte destra che quella sinistra indicano un numero solo in maniera indeterminata. Potremmo sostituire ad (a) la lettera (x) senza cambiare il senso, giacchè entrambe le lettere indicano un numero solo in modo indeterminato. Ma se riuniamo entrambe le parti in un'equazione, dobbiamo scegliere per entrambe le parti la stessa lettera, ed in questo modo esprimere qualcosa che non è contenuto in nessuna delle due parti prese di per sè nè nel segno di uguaglianza. Ciò che esprimiamo è proprio la generalità, sia pure quella di un'equazione.
Come per esprimere la generalità si indica un numero in modo indeterminato con una lettera, così si deve anche indicare una funzione in modo indeterminato con una lettera. Usandosi f o F si hanno espressioni come F(x) dove x rappresenta l'argomento. Il bisogno di completamento della funzione è espresso dal fatto che la lettera f o F porta con sè una parentesi il cui spazio vuoto è destinato ad accogliere il segno dell'argomento. Perciò "E f(E)" indica il decorso di valori di una funzione lasciata indeterminata.
Come è stata ampliata la denotazione della parola "funzione" con il progredire della scienza ? In primo luogo è stato ampliato l'ambito dei tipi di calcolo che contribuiscono alla formazione di una funzione. All'addizione, moltiplicazione ed elevazione a potenza si aggiunsero diversi tipi di passaggio al limite, senza la consapevolezza della novità che ciò comportava. In secondo luogo è stato allargato l'ambito dei possibili argomenti e valori delle funzioni mediante l'assunzione dei numeri complessi. Conseguentemente si è voluto determinare più ampiamente il senso di espressioni come "somma", "prodotto" etc.
Frege dice che forse si può andare oltre in entrambi gli aspetti : è possibile introdurre oltre i segni che servono alla formazione di un'espressione (+,-,/) anche quelli (tipo =, >,<)che consentono di parlare della funzione "a x a = 1" dove 'a' rappresenta l'argomento. Il primo problema che emerge in tale contesto è quali siano i valori di questa funzione per argomenti diversi : per alcuni valori dell'argomento otterremo equazioni vere (es. a = 1 oppure a = (-1)), per altre equazioni false.
Si può affermare, dice Frege, che il valore della funzione (a x a = 1) è un valore di verità. Si può distinguere il valore di verità (il Vero) dal valore di verità del falso (il Falso). Mentre con a = 2, "a x a = 4" denota il Vero (così come "2 x 2" denota "4"), invece "a x a = 1" denota il Falso.
Perciò, dice Frege, "2 x 2 = 4" e "2>1" denotano la stessa cosa (il Vero).
Così (2 x 2 = 4)= (2>1).
Qualcuno potrebbe obiettare che "2 x 2 = 4" e "2>1" esprimono pensieri del tutto diversi. Ma anche "4x4 = 16" e "2x2x2x2 = 16" esprimono pensieri diversi, ma sono sostituibili tra loro, perchè entrambi i segni hanno la stessa denotazione. Di qui si vede che l'eguaglianza della denotazione non implica l'eguaglianza del pensiero.
Se diciamo "La stella della sera è un pianeta il cui periodo di rivoluzione è minore di quello della Terra" il pensiero così espresso è diverso da quello espresso dall'enunciato "La stella del mattino è un pianeta il cui periodo di rivoluzione è minore di quello della Terra". Infatti chi non sapesse che la stella del mattino è la stessa stella della sera, riterrebbe vero uno degli enunciati e falso l'altro. Ma la denotazione di entrambi gli enunciati deve essere la stessa perchè solo le parole "stella del mattino" e "stella della sera" sono state tra loro scambiate, parole che hanno la medesima denotazione, sono cioè nomi proprio dello stesso corpo celeste. "4x4" e "2x2x2x2" hanno la stessa denotazione, ma non lo stesso senso, non lo stesso pensiero.
Come scriviamo "2x2x2x2 = 4x4", altrettanto legittimamente possiamo scrivere "(2x2x2x2 = 4x4) = (4x4 = 4-al-quadrato)"
oppure "(2x2 = 4) = (2>1)"
Frege conclude che si va sempre più diffondendo l'opinione che l'aritmetica sia una logica ulteriormente sviluppata e che una fondazione più rigorosa delle leggi aritmetiche riconduca a leggi puramente logiche e ad esse soltanto. La lingua simbolica aritmetica deve essere ampliata sino a diventare una lingua simbolica logica.
Il valore della nostra funzione "a x a = 1" è sempre uno dei due valori di verità. Quando il valore della funzione è il Vero possiamo esprimerci così : "Il numero (-1) ha la proprietà di avere 1 come suo quadrato" oppure "(-1) è radice quadrata di (1)" oppure ancora "(-1) cade sotto il concetto di 'radice quadrata di 1' ". L'inverso avviene se il valore della funzione è il Falso. Da ciò vediamo come ciò che in logica è chiamato "concetto" sia intimamente connesso con ciò che chiamiamo "funzione". Anzi, un concetto è una funzione il cui valore è sempre un valore di verità. Anche il valore della funzione " (x+1) x (x+1) = 2 (x+1)" è sempre un valore di verità (Vero o Falso) e questo vale anche per " a x a = 1". Le due funzioni (sostituendo 'a' con 'x') hanno lo stesso valore per gli stessi argomenti. Esse dunque hanno lo stesso decorso di valori è ciò lo esprimiamo così :
E(E x E = 1) = A("(A + 1)x (A + 1)" = "2(A + 1)").
In logica ciò è chiamato "uguaglianza dell'estensione dei concetti"
Possiamo quindi designare come estensione del concetto il decorso di valori di una funzione il cui valore è per ogni argomento un valore di verità (Vero o Falso).
La forma linguistica dell'equazione è un'enunciato dichiarativo che contiene come suo senso un pensiero, o almeno pretende di contenerne uno : questo pensiero è in generale vero o falso e dunque ha un valore di verità che deve essere inteso come denotazione di un enunciato, così come il numero 4 è la denotazione dell'espressione "2+2" è Londra è la denotazione dell'espressione "la capitale dell'Inghilterra".
Gli enunciati dichiarativi possono a loro volta pensarsi scomponibili in due parti di cui una è in se stessa conchiusa, l'altra è invece insatura. Così ad es. l'enunciato "Cesare conquistò la Gallia" si può scomporre in "Cesare" e "conquistò la Gallia". Quest'ultima parte è insatura e contiene un posto vuoto : solo quando questo posto viene riempito da un nome proprio o da un'espressione fungente da nome proprio, appare un senso conchiuso. Chiamo funzione la denotazione della parte insatura, mentre Cesare è l'argomento.
Dunque non solo i numeri, ma anche gli oggetti in genere sono ammissibili come argomento : abbiamo già introdotto i valori di verità come possibili valori di funzioni, ora possiamo considerare tali anche gli oggetti, senza limitazioni. Ad es. partiamo dall'espressione "la capitale dell'Impero tedesco" che funge da nome proprio e denota un oggetto. La scomponiamo in due parti "La capitale di" e "L'impero tedesco" (utilizzando il genitivo per la prima parte), così che la prima parte è insatura, la seconda conchiusa. La prima sarà espressa come "la capitale di x", espressione di una funzione. Dato come argomento l'Impero Tedesco, avremo Berlino come valore della funzione.
Se dunque ammettiamo che gli oggetti, senza alcuna limitazione, possano figurare come argomenti e come valori di funzioni, ci possiamo chiedere che cosa viene qui chiamato oggetto. Abbiamo a che fare con qualcosa che per la sua semplicità non è suscettibile di una scomposizione logica. Possiamo dire brevemente : oggetto è tutto ciò che non è funzione e la cui espressione non contiene così alcun posto vuoto. Un enunciato dichiarativo non contiene alcun posto vuoto e pertanto la sua denotazione deve considerarsi come un oggetto. Ma questa denotazione è un valore di verità. Conseguentemente i due valori di verità sono oggetti.
L'equazione tra due decorsi di valori "E(E x E - 4E) = A(A x (A - 4))" può essere scomposta in "E(E x E - 4E)" e " ( ) = A(A x (A - 4))" . Questa seconda parte ha bisogno di completamento, in quanto alla sinistra del segno di eguaglianza c'è un posto vuoto. La prima parte, "E(E x E - 4E)", denota un oggetto perchè in sè conchiusa. I decorsi di valori di funzioni sono oggetti, mentre le funzioni stesse non lo sono. Abbiamo chiamato "E(E x E = 1)" un decorso di valori, ma potevamo anche designarlo come estensione del concetto radice quadrata di 1. Anche le estensioni dei concetti sono quindi oggetti, sebbene i concetti stessi non lo siano.
Riguardo alle denotazioni dei segni aritmetici già utilizzati, finchè gli unici oggetti con cui si ha a che fare sono i numeri interi, le lettere (a) e (b) in "a+b" indicano solo numeri interi, il segno di addizione deve essere spiegato solo nella sua utilizzazione tra numeri interi. Ogni ampliamento dell'ambito degli oggetti indicati da (a) e (b), richiede una nuova spiegazione del segno di addizione. L'imperativo del rigore scientifico sembra allora quello di prendere delle precauzioni affinchè non si effettuino inavvertitamente dei calcoli su segni vuoti, credendo invece di aver a che fare con oggetti. Tale triste esperienza la si è già fatta nel caso delle serie infinite divergenti.
E' dunque necessario stipulare delle regole dalle quali risulti cosa ad esempio denoti "# +1" qualora "#" denoti il sole. Come si stabiliscano queste regole è relativamente indifferente : la cosa essenziale è che esse siano stipulate in modo che "a+b" mantenga sempre una denotazione qualunque siano i segni di determinati oggetti che possano sostituire (a) e (b). Conseguentemente, per quel che riguarda i concetti, essi debbono avere per ogni argomento come valore un valore di verità e per ogni oggetto deve essere determinato se esso cada o no sotto il concetto.
In pratica i concetti devono essere rigorosamente delimitati, altrimenti sarebbe impossibile stabilire per loro delle leggi logiche.
Per ogni argomento x, per il quale "x+1" risulti essere senza denotazione, ne consegue che anche la funzione "x+1 = 10" non avrebbe nessun valore e quindi nessun valore di verità, cosicchè il concetto " ciò che addizionato ad '1' dà '10' " non avrebbe confini ben distinti. La rigorosa delimitazione dei concetti implica che anche per le funzioni in generale ci debba essere un valore per ogni argomento.

Le tesi di Frege qui esposte sono un grande tentativo di collegare matematica e logica e di usare i concetti matematici per fondare una filosofia del linguaggio logicamente ispirata. Si tratta di una grande avventura speculativa che criticherò senza mai smettere di ammirare.
Frege ha principalmente ragione nel dire che i formalisti da un lato parlano di segni che non abbisognano di contenuto per poi attribuire ad essi delle proprietà che possono essere proprie solo del contenuto. E' giusto dire che le proprietà numeriche non sono deducibili dai meri segni e che nessuna definizione può avere capacità creatrici tali da concedere ad una cosa proprietà che esso non ha. Se infatti mancano del tutto sia il senso che la denotazione,non si può parlare nè di segno nè di definizione. Frege qui giustamente argomenta a favore del realismo logico contro il formalismo (che a suo dire ha risvolti nominalistici)
Tuttavia da un lato Frege fa male a negare qualsiasi valenza conoscitiva a ciò che accade nella dimensione che sembra (e sottolineo "sembra") puramente segnica, mentre d'altro canto non è del tutto conseguente con il suo realismo logico nello sviluppare le sue tesi.
Infatti in primo luogo è proprio vero che la diversità della designazione non può da sola essere sufficiente a fondare la diversità del designato ? La diversità del nome o della formula non ci offre nuovi sensi che si riferiscono al denotatum ? Nuove proprietà dell'oggetto a cui ci si riferisce ? Frege dice che la mancanza nel numero della dimensione sensibile rende le cose meno chiare, dal momento che la distinzione tra segno e designato è meno netta. In realtà a nostro parere c'è una ragione più profonda di tale compenetrazione tra segno e designato ideale e la semantica potrebbe essere la dimensione propria di questo mistero. I segni sono veicoli puramente materiali del significato ? Una buona storia della notazione matematica (si pensi ad Ifrah)può problematizzare quest'assunto di partenza. L'elaborazione della notazione indo-araba ha reso possibile altre scoperte della matematica, ha evidenziato altre proprietà dei numeri. In realtà neanche i segni sono nostri (pensarlo è il principale errore del formalismo). Nostra è solo l'ulteriorità, l'atto che di volta in volta si appropria degli enti e ne fa segni di altri enti. E la semiosi stessa è un mistero : Come un ente può essere segno ? Esprimere e designare enti e proprietà di questi ultimi senza condividere queste proprietà ? Quali dimensioni del senso fanno da ponte tra un segno che non è più immagine ed una realtà che è sempre più remota ?
In secondo luogo Frege dice che per "funzione di x" si intende un'espressione di calcolo contenente x, una formula che include la lettera x, non accorgendosi che altro è un'espressione che contiene x ed altro è una formula contenente la lettera x. Infatti 'x' e la "lettera x" sono la stessa cosa ? Frege, come abbiamo visto, dice che mettere "2 + x" e "2X2+2" sullo stesso piano non è giusto, perchè non viene distinto il segno dal designato. Ma ciò vale se, come per i formalisti, 'x' è solo un segno. Perchè Frege, pur criticando il formalismo, diventa formalista quando si tratta della 'x' ? In realtà non c'è una differenza profonda tra 'x' e '2' ( Frege conviene poi su questo, ma la risultante delle sue tesi è comunque ambigua.. Il fatto che a '2' diamo una maggiore determinazione che ad 'x' è il frutto di una convenzione e di una mancanza di riflessione sulle condizioni di possibilità che sottostanno all'uso stesso dei segni. Un formalista potrebbe dire che '2' è un mero segno, come'x'. Un realista (come me) direbbe invece che 'x' rimanda ad una realtà ontologica come '2'. E' cosa diversa poi il segno dalla forma (che invece Frege sembra assimilare): la forma è una proprietà dei segni ed è già ad un livello più ideale dei segni stessi : la funzione non è un'espressione, ma il senso (sinn) dell'espressione con il segno 'x'.
Ma veniamo alla 'x'. In algebra 'x' è detta "incognita", in logica "variabile", Magari è '2', ma non lo sappiamo, lo dobbiamo scoprire. Non sapendolo può essere 1,2,3...n. Dunque 'x' non è un segno come 'casa' per una casa ? Ma un segno che sta per un numero qualsiasi ? O per un numero determinato che però non abbiamo ancora individuato ? O per quello che Biermann chiamava l'elemento indeterminato ?
'x' è una generalità, epistemicamente una variabile, cioè un numero di volta in volta diverso a seconda della forma nella quale è inserito. Non è esso stesso una forma (una forma è "2+1", la versione operazionale di un numero, una stringa, un algoritmo). Ma torneremo sulla 'x'. Ora ci soffermeremo sulla distinzione che Frege individua tra funzione ed argomento.
Frege dice che l'argomento non appartiene alla funzione, ma insieme alla funzione forma un tutto completo, perchè altrimenti la funzione sarebbe incompleta (insatura. In realtà la funzione è il Tutto composto da argomento e dalla locuzione funzionale, mentre Frege riduce la funzione allo locuzione funzionale stessa.
In realtà andrebbe distinta la funzione (locuzione funzionale + argomento), la locuzione funzionale (formula incompleta saturabile dalla concretizzazione numerica di una variabile) e schema funzionale (stringa del tutto priva di numeri e caratterizzata solo da variabili). Esempio della prima è un'operazione qualsiasi (4+5 +8),esempio della seconda è "4+5+x", esempio della terza è "x+y+z". Ma anche questa classificazione può essere considerata problematica, allo stesso modo dell'argomentazione di Frege a questo proposito. Comunque Frege confonde funzione e locuzione funzionale, mentre non prende in considerazione affatto lo schema funzionale.
Oserei dire che queste aporie sono legate alle aporie della relazione evidenziate dal vecchio provocatore F. H. Bradley. Se una funzione si può considerare una relazione, si può dire che una funzione non è il Tutto (compresi i termini relati) ad es. f(3), nè è un astratto rapporto che prescinde atomisticamente dai termini ad es. f( ), ma un che di indefinito come f(x). Dunque la variabile (x) consente anche di pensare ad una relazione ? Il massimo di purezza che una relazione/funzione può avere è possibile grazie ad una variabile/generalità ?
Ma bando alle ipotesi metafisiche e continuiamo con Frege :il quale dice che risultato della funzione completata dal suo argomento è il valore dela funzione per questo argomento. Dice Frege che, nel caso delle funzioni il cui valore è sempre lo stesso quale che sia l'argomento (es. "2+x-x" o "2+0xa") se si calcolasse l'argomento come appartenente alla funzione, allora si dovrebbe dire che il numero 2 (nei casi esemplificati) è questa funzione, ma in realtà la funzione va distinta dal valore della funzione, dal momento che l'espressione di una funzione deve sempre indicare uno o più posti destinati ad essere riempiti dall'argomento. A questi argomenti di Frege va ribattuto che la funzione è una totalità concreta, una forma interamente saturata, che può essere tranquillamente riassunta dal suo valore. Grazie a ciò, si può ben dire che "4+5+8 = 17", in cui 17 è il valore della funzione "4+5+8", ma è altresì il correlato numerico della funzione stessa. Perciò la funzione è di volta in volta il valore della funzione, così come la variabile è di volta in volta un determinato numero. Quello che Frege dice vale invece per la locuzione e per lo schema funzionale.
Funzione ed argomento dunque non sono realtà assolutamente distinte, dal momento che la funzione si concretizza sempre in un numero, così come l'argomento e nelle equazioni bisogna stabilire il valore della variabile (o delle variabili)e dunque determinare l'argomento per poi determinare il valore della funzione.
Frege poi dice che in "a(a-4) = (a x a)- 4a" ci troviamo dinanzi a due funzioni diverse che hanno sempre lo stesso valore, quale che sia l'argomento una volta determinato, dunque due funzioni che hanno lo stesso decorso di valori. In realtà è forse più opportuno dire che si tratta di due funzioni numericamente equivalenti, ma algoritmicamente differenti ( cioè con uno schema funzionale differente).
Si può asserire che tale equivalenza ("a(a-4) = (a x a)- 4a") non si può stabilire empiricamente (come si potrebbe stabilire "1+1 = 3-1") ma è stabilita dall'applicazione di regole logiche ? Per cui l'algebra è un insieme di regole per la manipolazione di segni che già collega la matematica alla logica ?
In realtà quando Frege stabilisce un'equivalenza tra la generalità di un'equazione tra valori di una funzione e l'equazione tra decorsi di valori, introducendo questi ultimi, incorre a mio parere in una ridondanza simbolica. Se infatti è possibile fondare logicamente ed operativamente l'equivalenza tra funzioni con lo stesso valore numerico, non è necessario ricorrere al decorso di valori che è già esemplificato dall'uso dello stesso segno per la variabile. Per questo motivo, perchè utilizzare un ulteriore simbolo per designare un decorso di valori che non va aggiunto alla funzione, dal momento che questa basterebbe a se stessa ?
Frege dice di sostituire con una lettera greca (qui si è utilizzata la maiuscola) il segno dell'argomento. In realtà egli aggiunge anche una lettera, altrimenti come da "(a x a)- 4a" si deriverebbe "E(E x E - 4E)" ? Forse "(a x a)- 4a" dà un'idea di apertura dal momento che come stringa può essere allungata da altre locuzioni funzionali, mentre invece il chiudere tra parentesi la funzione come in "E(E x E - 4E)" sembra darle una maggiore e più precisa determinazione, la rende conchiusa. Ma in tal caso perchè mettere di nuovo le lettere fuori della parentesi ? Inoltre Frege, come abbiamo visto dice che se riuniamo "a(a-4)" e "(a x a)- 4a" in un'equazione dobbiamo scegliere per entrambe le parti la stessa lettera, ed in questo modo esprimere qualcosa che non è contenuto in nessuna delle due parti prese di per sè nè nel segno di uguaglianza, e cioè la generalità. In realtà non si tratta semplicemente di esprimere la generalità : "a(a-4) = (a x a)- 4a" è molto diversa da "(a x a)- 4a = 1-1" con a=4. Infatti "a(a-4) = (a x a)- 4a" si può ottenere attraverso altre progressive equivalenze logiche e non è sottoposta all'equivalenza contingente del decorso dei valori come un'equazione del tipo 5-2 = 4-1 che è in realtà un'equazione 5-2 = 3 = 4-1 con un prodotto intermedio che è il valore della funzione. Tali equivalenze sono possibili solo se l'argomento è lo stesso sia nella parte sinistra che in quella destra dell'equazione. Invece nel caso di "E(E x E - 4E) = A(A x (A - 4))" , a parte la complicazione grafica, l'equivalenza risulta essere assolutamente contingente e delegata alla verifica del decorso dei valori nella funzione. Tutto ciò però a scapito dell'esistenza cara a Frege di leggi logiche alla base di quelle della matematica.
Frege estende poi la denotazione della parola "funzione". Questa è la parte più interessante ed azzardata del suo tentativo : infatti il valore della funzione da valore numerico diventa valore di verità. Tale estensione metaforica va giustificata.
Altro è dire che "2x2 = 4" e "2>1" sono veri, altro è dire che "(2x2 = 4) = (2>1)". Altrimenti saremmo alla logica primitiva per cui se "A è bello" e "B è bello" allora A=B. Frege ritorna al ragionamento che Platone problematizzò nel Sofista ?
Frege argomenta che due espressioni che denotano la stessa cosa, non per questo esprimono lo stesso pensiero (ad es. "4x4 = 16" e "2x2x2x2 = 16" esprimono pensieri diversi, ma sono sostituibili tra loro, perchè entrambi i segni hanno la stessa denotazione). Tuttavia il fatto che non tutte le espressioni denotanti la stessa cosa esprimono lo stesso pensiero, non implica che tutte le espressioni che non formulano lo stesso pensiero abbiano la stessa denotazione. Tocca sempre a Frege fornire le ragioni per cui "2x2 = 4" e "2>1" denotano la stessa cosa.
L'analogia con la "stella del mattino" e la "stella della sera" non è del tutto appropriata, in quanto tali espressioni che linguisticamente sono ricomprese nel sinn si riferiscono a dei sense-data o a dei fenomeni fisici. Essi perciò comporterebbero una riflessione a parte. Dire infatti che "stella del mattino" e "stella della sera" sono nomi propri dello stesso corpo celeste è semplicistico. Sono in realtà nomi che si riferiscono attraverso due diversi sinn a due fenomeni diversi che vengono ricondotti ad uno stesso oggetto tramite una teoria.
Frege potrebbe sostenere forse che "(2x2 = 4) = (2>1)" se trasformasse tale rapporto in un equivalenza logica giustificata da tutta una serie di equivalenze. Se cioè si riuscisse a trasformare la matematica in una serie di equivalenze o almeno di implicazioni in modo da trasformarla in una gigantesca proposizione molecolare con un' unica denotazione : Il Vero. Ma questo non è il programma di Hilbert ?
Quando Frege dice poi che un concetto è una funzione il cui valore è sempre un valore di verità, in quanto l'asserto in cui si risolve una funzione sarebbe del tipo "S è P" che in quanto tale è vero o falso, c'è da dire che sarebbe opportuno introdurre distinzioni più sottili corrispondentemente a quella tra funzione, locuzione funzionale e schema funzionale. Si può dire che alla funzione concreta corrispone il concetto che è l'unione tra il soggetto (argomento) e il predicato (locuzione funzionale), unione che può essere asserita o negata (vera o falsa); al predicato corrispone la locuzione funzionale dove l'argomento è ancora la variabile considerata come incognita; allo schema funzionale corrisponde invece la predicazione (relazione predicativa), dove entrambi (soggetto e predicato) sono variabili. Hegelianamente il concetto è visto come funzione concreta, come un che di proposizionale.
Frege dice che il concetto è il cadere di un oggetto sotto di esso. A parte la circolarità della definizione (che contiene cioè ciò che vuole definire e dunque rinvia ad infinitum la stessa definizione), perchè allora Frege parla del concetto di "radice quadrata di 1", dal momento che nessun oggetto cade sotto questo concetto ? Forse perchè anche l'insieme vuoto è un insieme ? Il non cadere sotto un concetto è pur sempre un cadere ? In realtà solo in una concezione dialettica la tesi della coimplicazione tra concetto e valore di verità può avere senso : il concetto non può essere il solo predicato, ma l'intera proposizione.
Inoltre anche dire che '4' è denotazione di '2+2' è sbagliato. Si può magari dire che 4 è denotazione di "4" e 2+2 di "2+2", o che denotazione di "4" e di "2+2" è lo stesso numero.
Anche dire che Londra è la denotazione de "la capitale dell'Inghilterra" è errato : si può dire che "Londra" è un nome di cui uno dei sensi è "La capitale dell'Inghilterra" e la cui denotazione è la città di Londra, della quale i diversi sensi evidenziano proprietà e relazioni con altro oggetti.
Frege divide poi "Cesare conquistò la Gallia" in I) Cesare (parte satura e completa) e II)...conquistò la Gallia (parte insatura e incompleta). Ma perchè considerare l'argomento Cesare invece che come componente satura, come un termine di più relazioni ? Infatti la proposizione suddetta si può dividere anche in I) Cesare conquistò...(parte insatura e incompleta) e II) la Gallia (parte satura e completa).Come a dire che (x + 4) può corrispondere a (5 + y) sempre che X=5 e y=4. Non solo Cesare è un argomento, ma anche la Gallia, anche se qualcuno potrebbe dire che il soggetto grammaticale di un enunciato è l'argomento di una proposizione, mentre un altro complemento grammaticale dell'enunciato è solo indirettamente argomento della stessa proposizione, ma di questo parleremo un'altra volta.
Frege opera anche un'altra estensione e cioè dai valori di verità come possibili valori di funzioni agli stessi oggetti come possibili valori di funzioni : ad es. in "La capitale dell'Impero tedesco" (con "La capitale di..." parte insatura, espressione di una funzione se accompagnata dalla variabile, e "Impero tedesco" parte satura e argomento della funzione) "Berlino" è il valore della funzione, cioè la risposta alla domanda "Qual è la capitale dell'Impero Tedesco?", così come "17" è il valore della funzione "4x + 5" con x=3. Qui l'analogia di Frege con la funzione matematica è più pertinente, perchè "Berlino" è una risposta ad una domanda così come "17" nel caso suddetto. In questi casi si stabilisce una equivalenza (tra "4x + 5" e "17" e tra "La capitale dell'Impero tedesco" e "Berlino"), mentre nel caso del valore di verità si valuta un'equivalenza già data e si è in una dimensione metalogica dove le alternative non sono illimitate (numeri o oggetti) ma bivalenti (vero o falso). E questo per non evidenziare che anche in "la capitale dell'Impero tedesco" è possibile operare una divisione utilizzando un altro criterio e cioè tra "La capitale" (parte satura) e "dell'Impero tedesco" (parte insatura). In base a questo ragionamento come si può pensare in base alla prima distinzione alla "Capitale dell'Impero Austriaco",così in base alla seconda distinzione si può pensare a "Il Kaiser dell'Impero tedesco".
E poi ancora se la funzione, in contrapposizione all'oggetto, viene considerata come qualcosa che contiene un posto vuoto, che ne è del valore della funzione come valore di verità, visto che la funzione rimane qualcosa di vago ? Anche qui Frege sconta la sua ambiguità, dal momento che da un lato concepisce la funzione come qualcosa che non è saturato (la locuzione funzionale) dall'altro ritiene che si possa concepire una funzione saturata (quello che io chiamo la funzione vera e propria) quando l'argomento non è più una variabile, ma un oggetto definito
Inoltre Frege dal fatto che l'oggetto è un qualcosa che non contiene posti vuoti (un atomo logico ?) e dal fatto che un enunciato dichiarativo non contiene alcun posto vuoto, ne deduce che la sua denotazione deve considerarsi come un oggetto. Ma questa denotazione è un valore di verità. Conseguentemente i due valori di verità sono oggetti. Anche qui l'appartenenza alla stessa classe ("non contenente posti vuoti")
di due elementi (oggetti, enunciati e conseguentemente valori di verità) porta arbitrariamente all'equivalenza tra enunciati ed oggetti e tra valori di verità ed oggetti. In realtà il valore della funzione è un oggetto, se la funzione è un concetto, il valore della funzione è un valore di verità se la funzione è una proposizione, l'oggetto è la denotazione del linguaggio oggetto, il valore di verità è invece la denotazione a livello-metalinguistico : perchè si possano considerare i valori di verità come oggetti, bisogna identificare concetti e proposizioni, sovrapporre linguaggio e metalinguaggio. Insomma si tratta di un'operazione che ha implicazioni che vanno affrontate esplicitamente.
Frege riduce ad oggetti non solo i valori di verità delle funzioni, ma anche il decorso di valori delle funzioni. Ma quest'ultimo è la stessa funzione con la sua variabile (o posto vuoto), cosa di cui invece Frege non si accorge dal momento che sulla distinzione tra valore di una funzione e funzione stessa egli basa buona parte della sua tesi. Ma del resto se "(a x a) - 4a" equivale ad un numero, perchè la funzione non deve equivalere al valore della funzione stessa ?
Frege equiparando decorso di valori e estensione del concetto, considera quest'ultimo come un oggetto, anche se non fa la stessa cosa con il concetto stesso: Perchè mai questo ? L'estensione di un concetto non è l'esplicazione del concetto ad un certo livello di analisi ? Perchè rendere la distinzione tra concetto e sua estensione un che di rigido ? Perchè rendere l'estensione di un concetto con la formula ridondante del decorso di valori e non sintetizzarla nella funzione stessa con la sua variabile ? La variabile non esemplifica senza aggiunte la generalità ? O meglio la generalità non è indissolubilmente legata alla interpretazione del segno, dal momento che il segno stesso rende la generalità un particolare tra tanti, per cui aggiungere segni (o sostituire le variabile con una parentesi vuota) è un'inutile fatica di Sisifo ?
Frege anticipa in un certo senso il principio di verificazione, in un senso addirittura allargato anche all'ambito logico-ideale, quando dice che bisogna stare attenti ad evitare che un'espressione diventi priva di denotazione. Forse per "denotazione" egli intende "determinazione", ma allora in che senso la denotazione si differenzierebbe dal sinn ? E perchè per Frege è parzialmente indifferente come si stabiliscano le regole da cui risulti cosa denoti "# +1" ? Il come è fuori dall'analisi filosofica ? Perchè dalla possibilità di stabilire la denotazione dipende la possibilità di stabilire leggi logiche per i concetti ? Perchè le leggi logiche sono legate necessariamente al valore di verità ? Ma ciò non vale solo per la logica proposizionale ? Se dobbiamo avere un valore di verità per ogni concetto, quest'ultimo è assimilabile ad una proposizione ? Una funzione " x + 1 " senza denotazione potrebbe avere sinn ?
Insomma , questo scritto di Frege è ad un tempo tra i più geniali e tra i puiù ambigui ed azzardati. Esso per essere meglio compreso abbisogna della lettura e dello studio degli altri suoi saggi scritti in questo periodo

Bolzano e la matematica come costruzione fondata sull'intuizione

Bolzano poi critica la tesi per cui la matematica sarebbe una scienza di costruzione di concetti tramite intuizioni.

Secondo questa teoria (presentata ad es. da Fries), sia in geometria, sia in aritmetica, non bastano espressioni discorsivamente determinate, ma ci vogliono figure dell'immaginazione che ci rendano intuitiva la materia : nella geometria con le figure, nell'aritmetica con cifre e lettere che contengano una rappresentazione intuitiva delle combinazioni numeriche stesse.

Bolzano a tal proposito dice che Fries, per quelle intuizioni che dovrebbero essere un aggiunta del tutto specifica alle spiegazioni dei concetti matematici, non intende altro che un oggetto sottostante il concetto ora spiegato, oggetto che la nostra immaginazione produttiva dovrebbe raffigurare nella spiegazione data per la geometria mentre per l'aritmetica dovrebbe essere nient'altro che un segno scritto qualunque che colleghiamo al concetto spiegato.

Tuttavia, aggiunge Bolzano, quel che si richiede non riguarda tutte le spiegazioni concettuali facenti parte della geometria: così ad es. anche il concetto di linea infinita è un concetto geometrico di cui bisogna fornire una spiegazione geometrica.

Eppure l'immaginazione produttiva non è in grado di costruire un oggetto corrispondente a questo concetto : una linea infinita non possiamo disegnarla con l'immaginazione, ma possiamo e dobbiamo pensarla solo con l'intelletto.

Inoltre la nostra immaginazione non è assolutamente in grado di raffigurarci il primo oggetto geometrico (il punto) : quel che ci raffigura è una macchiolina a cui dobbiamo togliere con l'intelletto le tre dimensioni.

Inoltre Bolzano dice che anche in altre scienze compaiono concetti che una figura rende intuitivi: ad es. in logica Euler, Lambert hanno reso intuitivi mediante figure i concetti di estensione di una rappresentazione e la teoria sillogistica. Per quanto invece riguarda la cosiddetta costruzione simbolica dell'aritmetica è evidente che designare le grandezze con lettere e le diverse operazioni con segni (+, - etc.) non cambia nulla nel modo in cui si devono intendere questi concetti, ma solo facilita il tenerli a mente e richiamarli alla memoria.

Semplificazioni simboliche simili ci sono state in altre scienze senza che nessuno abbia mai detto che ora in queste scienze i concetti si formano in modo diverso da prima.

E le parole stesse non sono pure segni intuitivi dei nostri concetti esattamente come l' (a+b) dell'algebra con la sola differenza che questi ultimi segni sono più facile da riconoscere e rappresentare ?

Per Bolzano inoltre il fatto che per il matematico è facile collegare intuizioni ai concetti non implica che egli non debba intraprendere una analisi dei concetti stessi. Sarebbe più comprensibile se tale facilità faccia derivare l'esigenza ulteriore non solo di chiarezza ma anche di intelligibilità. E' corretta certo l'affermazione che ad es. la spiegazione del cubo deve soltanto collegarsi ad un nesso che permetta al tempo stesso di dimostrare in qual modo si possa delimitare il cubo con 6 quadrati uguali.

Ma questo è il modo in cui si deve procedere in qualsiasi scienza e non è lo specifico delle scienze matematiche. Introducendo un concetto composto cui spetti oggettualità, non si deve darlo per presupposto senza una sua propria dimostrazione. Ma se indaghiamo sul modo in cui bisogna procedere in simili dimostrazioni si vedrà che queste dovranno essere condotte in modo nient'affatto diverso da quello di ogni altra scienza. Ovvero esclusivamente partire da pure verità concettuali, così da evitare ogni relazione a figure ed intuizioni dalle quali si possa dedurre qualcosa che non risulti dai concetti stessi. Ma se il modo in cui il discorso matematico deve organizzare le sue dimostrazioni obbedisce alle stesse leggi di ogni altra scienza puramente concettuale, il matematico certamente non potrà sottrarsi all'obbligo di rendere intellegibili tutti i concetti mediante l'analisi.

Bolzano poi critica chi disprezza le spiegazioni con segni caratteristici negativi (tipo angoli acuti e/o ottusi come angoli non-retti etc.) dicendo che una spiegazione è buona non appena indichi gli elementi di cui è composto il concetto da spiegare. E, come vi sono concetti affermativi, ve ne sono anche di negativi, generati dalla negazione di un segno caratteristico o dove in essi compaia come elemento il concetto di negazione.

Bolzano poi critica alcuni che credono che a partire dai concetti puri non si possa dimostrare alcuna verità sintetica e che vi sono piuttosto certe intuizioni, tramite le quali debba essere mediata ogni conoscenza sintetica. Bolzano si domanda retoricamente a cosa serve non riconoscere diritto ai sensi se se ne concedono invece all'immaginazione. Infatti quando si traggono deduzioni partendo dalla considerazione di una figura, è lo stesso vederla nella natura disegnata o in quella immaginata. Bolzano a tal proposito nota pure che il termine "intuizione" porta all'opposizione tra intuizione e concetto.

Bolzano aggiunge che le intuizioni sono di aiuto perchè possiamo supporre che ci sia una causa che le produce e poichè dall'effetto si possono dedurre le proprietà delle cause, dalle proprietà dell'intuizione possiamo dedurre una proprietà corrispondente dell'oggetto che la produce, e se ci sono più intuizioni analoghe, siamo giustificati con una certa probabilità a concludere che sono prodotte da oggetti simili e così ad es. possiamo convincerci che, invertendo l'ordine dei fattori, il prodotto non cambia, se tale è il risultato di una molteplicità di casi, in cui abbiamo fatto tale operazione. Ma in tal modo non si può ottenere certezza, ma solo probabilità. Inoltre perchè l'uso delle intuizioni debba convincerci dell'impossibilità del contrario, si deve presupporre che l'intuizione debba comprendere in sè concetti, cosa che estende troppo l'accezione del termine "intuizione".

Bolzano dice che è vero che il geometra nelle sue dimostrazioni non si ferma al mero concetto, ma a questo collega certi disegni grazie ai quali accetta qualche premessa come giusta. Ma è proprio impossibile ricavare tutte le premesse da semplici concetti ? E se tutte le figure servissero solo a designare più rapidamente e a ricordare più facilmente ciò che si è già dimostrato ?

In tal caso, dice Bolzano, non c'è opposizione tra conoscenza tramite intuizione e tramite concetti, in quanto potrebbe accadere che ciò che si colpisce osservando una certa linea retta di cui abbiamo tracciato il prolungamento, veniamo a conoscere la verità che ogni linea retta può essere prolungata, allora si dice che siamo arrivati a tale conoscenza tramite intuizione . Ma è altrettanto certo che si è potuto dedurre una verità così generale, solo perchè si è presupposta un'altra verità non intuitiva per cui tutte le rette sono simili.

Le osservazioni che si possono fare su queste tesi di Bolzano sono le seguenti:

1. Bolzano dice giustamente che non tutti gli oggetti matematici sono rappresentabili intuitivamente (es. una linea infinita, anche se i punti sospensivi possono essere segni che stanno per la stringa discorsiva "e così via all'infinito", stringa che svolge la sua funzione segnica grazie al fatto che intuiamo già intellettualmente l'Infinito e dunque ne comprendiamo il concetto).
2. Altro è l'esigenza didattica di rendere esplicitamente comprensibile un concetto, altro è subordinare a tale esplicitazione rappresentativa la valenza conoscitiva di un concetto. I segni infatti possono semplicemente stimolare un insight nel discente e dunque non debbono racchiudere per forza in essi l'intera portata del concetto a cui fanno riferimento (al contrario di quanto potrebbe pensare un Hilbert o più generalmente un finitista).
3. Il problema nasce però se l'insight non si genera : come si deve fare in questo caso ? Bolzano in questo senso non ci aiuta....anche se ha ragione a dire che i segni formali della matematica non sono più rappresentativi di quanto non siano le lettere dell'alfabeto nel svolgere la propria funzione segnica.
4. Bolzano critica profeticamente gli Intuizionisti (che non erano ancora apparsi...) quando dice che un concetto negativo è un concetto come tutti gli altri.
5. Più difficile è dire se il ruolo dell'immaginazione automaticamente valorizzi anche quello dei sensi : è vero che gli oggetti dell'immaginazione sembrano simili a quelli dei sensi, e tuttavia le combinazioni di qualia a cui si possono ridurre gli oggetti immaginati potrebbero avere logiche del tutto indipendenti dalla genesi sensoriale dei qualia.
6. Bolzano ha ragione nell'ipotizzare che nell'intuizione intellettuale ci sia molto di concettuale. A mio parere l'intuizione intellettuale coglie i concetti base delle scienze ed il loro carattere antinomico soggiacente e non sempre manifesto.
7. Il concetto nascosto nell'intuizione non è l'universalizzazione della proprietà intuita ("tutte le linee sono uguali"), ma la condizione di possibilità che rende possibile l'operazione fatta mediante le rappresentazioni intuitive (l'infinità della linea che rende possibile l'operazione di prolungarla con una matita quanto si vuole...)

Bolzano e la comunicazione scientifica

Bolzano dice che tutta la comunicazione in un libro si svolge tramite segni scritti ed è necessario che al lettore vengano foniti anche altri segni che insegnino l'uso dei primi segni. Anche nei trattati di scienze matematiche c'è una notevole quantità di segni specifici, la cui notevole perfezione è una delle cause principali dei notevoli progressi fatti da questa scienza.
Bolzano aggiunge che le regole sono in parte espressamente stabilite, in parte tacitamente osservate, Ci sono regole specifiche per l'invenzione di questi segni e regole per il loro uso. A tal proposito, due sono le regole da seguire:
A) non si adoperi per quanto possibile alcun segno, se prima non si è reso noto al principiante il suo significato (informazione). Tali informazioni consisteranno solo di proposizioni espresse tramite altri segni scritti. Se però bisogna dare informazioni al lettore sui segni di una rappresentazione composta, e se questa è formata da rappresentazioni semplici che hanno segni già noti al lettore, un eccellente mezzo di informazione consiste nell'ordinare i segni nello stesso ordine con cui le rappresentazioni semplici costituiscono le rappresentazioni composte (informazione mediante scomposizione analitica o spiegazione o determinazione concettuale) ad es. un triangolo viene chiamato isoscele se ha due lati uguali. Tale strumento non è sempre applicabile e non lo è ad es. con rappresentazioni assolutamente semplici nè con rappresentazioni composte di cui non conosciamo gli elementi. In questi casi ci sono altri mezzi di informazione di cui uno dei più generali è mettere insieme diverse proposizioni dove compare il concetto rappresentato collegandole di modo che non si pensi ad un altro concetto al suo posto. Confrontando queste proposizioni, i lettori possono desumere dal segno stesso il suo senso.
B) c'è poi il dovere in certi casi di giustificare specificamente la scelta del dato segno, mostrando che esso è conforma allo scopo scelto. Esso è particolarmente indicato quando ci prendiamo la libertà di introdurre un nuovo segno o di modificare il significato di un segno già in uso.
Bolzano poi dice che è impossibile evitare l'uso di segni e termini che non portino con sé una rappresentazione secondaria appartenente al concetto da designare. Se anche fosse possibile, aggiunge Bolzano, non sarebbe utile in quanto proprio quelle rappresentazioni ssecondarie facilitano il compito di cogliere certe verità. Sarebbe sbagliato solo servirsi di tali rappresentazioni secondarie per derivarne ciò che non sappiamo dedurre dai concetti stessi. Spesso si fa uso di termini tecnici, segni e locuzioni che, in forza di rappresentazioni secondarie, si allontanano dal loro significato originario. Ad es. nella teoria pura dei numeri e nella teoria pura delle grandezze si mantengono termini tecnici presi a prestito da certi rapporti che hanno luogo nello spazio e nel tempo, anche se i concetti di queste scienze non si fondano su rappresentazioni spazio temporali, in quanto è sempre possibile esporre queste teorie senza fondarle su proprietà di tempo e di spazio.
Seppure (continua Bolzano) si volesse dimostrare che non è possibile farlo o che in ogni esposizione si insinuano rappresentazioni spazio-temporali, ciò si dovrebbe dedurre non dalla mera circostanza che quei termini tecnici contengono rappresentazioni, ma si dovrebbe dimostrare che, o i concetti stessi contengono le rappresentazioni da evitare, oppure che nell'esporre le spiegazioni si siano dedotte conseguenze che non risultano dai concetti stabiliti, ma solo dai termini tecnici scelti per designarli, grazie alle rappresentazioni secondarie che essi comportano.
Per Bolzano rappresentazioni e proposizioni sono per noi intelligibili solo se si può chiarire se esse siano semplici o composte, ed in quest'ultimo caso di quali altre rappresentazioni più semplici esse consistano.
Bolzano aggiunge che lo sforzo di rendere intelligibili i nostri concetti e giudizi ci risolve molte difficoltà e chiarifica concetti che ci siamo formati gradualmente sin dall'infanzia, senza che siamo in grado di dire se siano semplici o composti.
Inoltre non sapremo mai dire con assoluta sicurezza se un concetto sia semplice o no; e se lo presentiamo come semplice dobbiamo far vedere che tutti i tentativi di renderlo composito non possono riuscire, mentre se lo vogliamo presentare come composto. dobbiamo far vedere che appunto è composta da altri concetti.
Bolzano poi accenna ad un metodo meno rigoroso (che sarà molto usato) e cioè mostrare che i concetti che vanno spiegati sono collegabili (o sostituibili) da altri concetti che, se non identici, saranno equivalenti: ad es. spieghiamo il concetto di "corpo esteso" come "un corpo tale che ogni suo punto abbia punti ad esso adiacenti per quanto piccola possa essere la loro distanza reciproca".
Bolzano a tal proposito dice che se saremo in grado di dedurre da questo concetto (definiens) tutte le proprietà che si conoscono dei corpi estesi, sarà allora dimostrato che il nostro concetto è equivalente al definiendum.
Bolzano a questo punto, partendo dalle tesi or esposte, critica i trattati scientifici, dove i primi e più importanti concetti (es. spazio) non sono spiegati e dove tali spiegazioni sono rinviate alla filosofia ed alla metafisica in quanto la matematica sarebbe costruzione di concetti tramite intuizione e non analisi di concetti non rappresentabili intuitivamente.
Bolzano a tale ragionamento obietta che è proprio della scienza che tratta di un oggetto, il luogo per un'analisi esatta del concetto di quest'oggetto. e tale analisi non serve a rendere chiari i concetti base, ma a rendere consapevole chi li usa.
Bolzano a tal proposito dice che se si pretende che il matematico non debba riflettere sui concetti che usa, si fa un'assurdità, giacché in nessun altra scienza quanto nella matematica ci sono concetti chiari quanto intellegibili; infatti, il matematico non solo disegna e designa il quadrato, ma lo spiega e lo definisce, e se non fa questo con i concetti di spazio e corpo, è perchè non è giunto ancora ai loro elementi costitutivi.
Per questo, dice Bolzano, la matematica dovendo riflettere criticamente sui propri fondamenti, non potrà più essere la scienza dove non c'è niente di controverso, ma già contiene questioni controverse (es. contraddizione, logaritmi di numeri negativi, quantità infinite e infinitesimi) a cui si aggiungono le questioni sui fondamenti.
Questo perchè, aggiunge Bolzano una scienza sistematica che non si occupi delle controversie corre dei rischi.
Bolzano conclude questa parte del suo ragionamento dicendo che ci sono alcuni per i quali, più che riflettere sulle proprie basi, la matematica dovrebbe estendere i propri confini.

Molte osservazioni andrebbero fatte su queste tesi:

• La prima è che l'analisi logica va perfezionata dall'analisi semantico-lessicale e dunque deve avere in sè un riferimento storico ed ermeneutico.
• La seconda è che la riflessione sugli strumenti delle singole scienze può essere fatta anche dagli scienziati, ma si tratta sempre di filosofia.
• La matematica può trattare i concetti di piano e di figura, ma non quelli di spazio e di corpo, che pertengono maggiormente alla fisica.
• La questione tra istanze fondative ed istanze estensive all'interno della matematica anticipa forse le interpretazioni della prova di Godel
• Bolzano ha ragione a considerare la sostituzione per equivalente vero-funzionale come un metodo di ripiego nell'ambito della comunicazione scientifica. Egli anticipa le critiche che si possono fare circa la superficialità delle soluzioni neopositiviste al problema delle lingue e dei linguaggi
• Bolzano intuisce anche l'importanza delle rappresentazioni secondarie e di quelle che Frege chiama illustrazioni nella questione della comunicazione scientifica
• L'esistenza di un linguaggio formale e di un altro linguaggio che si riferisce ad esso fa pensare alla storicamente successiva questione dei rapporti tra linguaggio e metalinguaggio.

Bolzano e i segni caratteristici

Bolzano tratta poi dei segni caratteristici. Egli dice che :

• Gli elementi che formano il contenuto di una rappresentazione non devono essere confusi con i segni caratteristici, né del suo oggetto né di se stessa.
• Segno caratteristico di un oggetto è una qualunque sua proprietà particolarmente adatta a farlo riconoscere. (ad es. un aumento della temperatura e un’accelerazione della circolazione sanguigna sono segni caratteristici di un’eccitazione.
• Essendo anche la rappresentazione un oggetto, essa può avere i suoi segni caratteristici (“essere composta”, “essere semplice”)
• E’ un luogo comune pensare che ogni segno caratteristico dell’oggetto debba comparire anche nella rappresentazione. Ciò non è vero in quanto il concetto “triangolo equilatero” ha un oggetto con dei segni caratteristici (es. tutti gli angoli sono di 60 gradi etc.), ma di questi non si fa menzione nel concetto.
• Il numero di proprietà contenuto dal triangolo equilatero (come da ogni altro oggetto) è infinito. Se tutte le proprietà di una cosa dovessero essere esplicitamente menzionate nella sua rappresentazione, ogni rappresentazione avrebbe un numero infinito di elementi
• Non tutte le rappresentazioni di un segno caratteristico comparenti nel concetto di un’oggetto sono a loro volta segni caratteristici di tale oggetto. Ad es. in un triangolo scaleno la rappresentazione dell’eguaglianza (collegata in questo caso ad una negazione) non corrisponde ad un segno caratteristico dell’oggetto.
  
  A queste tesi vale la pena osservare quanto segue:

1. Una proprietà di un oggetto è un elemento della sua rappresentazione, anche se forse non tutti gli elementi di una rappresentazione sono proprietà essenziali dell’oggetto rappresentato.
2. Un aumento della temperatura non è una proprietà dell’eccitazione, ma un suo effetto. “Essere composta” o “essere semplice” invece sono primamente proprietà essenziali di una rappresentazione o di un qualsiasi oggetto e solo secondariamente suoi segni caratteristici.
3. Bolzano fa due confusioni: tra concetto (lo stesso che l’oggetto idealmente inteso) e rappresentazione, e tra conceptum (l’idea oggettivamente intesa) e conceptus (la nozione soggettiva che noi abbiamo dell’oggetto). Inoltre le proprietà considerate essenziali sono quelle scelte per caratterizzare gli assiomi relativi all’oggetto da cui si fanno discendere tutte le altre proprietà (quelle caratterizzanti i teoremi)
4. Le proprietà dedotte si rispecchiano nei segni caratteristici ? I segni caratteristici non riguardano le proprietà adatte a farlo riconoscere ? E dunque i segni caratteristici non devono rientrare nelle proprietà che si evidenziano nel rapporto immediato con l’oggetto? Inoltre per Bolzano tutte le proprietà di un oggetto sono segni caratteristici ?
5. Nel conceptus (apparenza soggettiva ed immediata del conceptum) può non comparire qualche proprietà essenziale, ma ciò non accade per quanto riguarda il conceptum. La rappresentazione può essere considerata il conceptus che tende al conceptum: il conceptum è oggettivo e coincide (nella sua infinita approssimazione) con l’oggetto stesso. L’inadeguatezza della rappresentazione al suo oggetto è la prova che non può esserci rappresentazione senza oggetto, in quanto la rappresentazione non può mai sostituire l’oggetto stesso senza coincidere con l’infinità (di proprietà e relazioni) dell’oggetto stesso.
6. Si deduce da (6) che le rappresentazioni non si riducono ai loro elementi. D’altro canto Bolzano rappresenta la rappresentazione come un che di atomisticamente scomposto, mentre l’oggetto rimane un che di complesso. Questo è dovuto anche al fatto che una qualità o una relazione collegate ad un altro elemento possono trasformarsi nel loro opposto (il “miracolo” della negazione), per cui la strutturazione degli elementi in sottoinsiemi è un momento fondamentale della costituzione dell’insieme (a dimostrazione della non riducibilità dell’insieme ai suoi elementi)
7. Le proprietà di un oggetto sono rappresentabili anche come un che di composto (es. non-uguale) per cui anche la semplicità o la complessità di un oggetto (o di una rappresentazione) sono reciprocamente traducibili e relative al punto di vista da cui si guardano le cose.

L'ambiguità della rappresentazione in Twardowski

Twardowski tratta poi della rappresentazione e della sua ambiguità: egli afferma che :

• E' necessario distinguere rappresentazione di un contenuto e rappresentazione di un oggetto. Per meglio farlo bisogna distinguere tra aggettivi attributivi (determinativi) ed aggettivi modificanti.
• L'aggettivo attributivo amplia e/o specifica il significato di un nome o di un'espressione senza alterarlo però radicalmente (es. uomo buono). L'aggettivo modificante muta completamente il significato originario del nome cui si accompagna (ad es. "uomo morto" non è più uomo, "amico falso" non è più amico)
• Twardowski precisa che a volte gli aggettivi modificanti sono attributivi e viceversa: ad es. "in "falso amico", "falso" è modificante.
• Twardowski dice che anche "rappresentato" ha questa sorta di ambiguità: egli fa l'esempio del pittore che dipinge un quadro, ma dipinge anche un paesaggio. La medesima attività del pittore ha due oggetti, ma il risultato di questa attività è uno solo. Il pittore quando ha terminato ha sia un quadro dipinto che un paesaggio dipinto. Il paesaggio non è reale, ma solo dipinto ed il quadro dipinto e il paesaggio dipinto sono una cosa sola. Twardowski conclude che il quadro rappresenta realmente un paesaggio ed è quindi un paesaggio dipinto che è a sua volta un quadro del paesaggio.
• La parola "dipinto" gioca un doppio ruolo: "dipinto" a proposito del quadro appare una determinazione attributiva, determinazione che specifica che si tratta di dipinto e non di incisione; "dipinto" a proposito del paesaggio appare una determinazione modificante, in quanto il paesaggio dipinto non è reale paesaggio, ma una supeficie dipinta di tela trattata dal pittore
• Twardowski poi rovescia l'analisi e dice che questo paesaggio dipinto però rappresenta un paesaggio reale. Il paesaggio che il pittore ha dipinto è rappresentato sul quadro ed è stato dipinto dal pittore. Il fatto che è stato dipinto da un pittore, non lo fa cessare di essere un paesaggio.
• Se si dice "Mi ricordo questo paesaggio : l'ho visto alla mostra d'arte" io parlo del paesaggio reale che è stato dipinto e non del paesaggio dipinto. L'aggiunta "dipinto" alla parola "paesaggio" non modifica il risultato della parola "paesaggio".
• Twardowski conclude che "dipinto" è un attributo determinante in questo caso, in quanto indica che il paesaggio sta in una relazione determinata rispetto ad un quadro, una relazione che non fa cessare il paesaggio di essere un paesaggio, più di quanto la somiglianza di un uomo con un altro uomo non fa cessare il primo di essere appunto un uomo
• Twardowski poi dice che ciò che si è detto di "dipinto" vale anche per "rappresentato", che si applica sia al contenuto (paesaggio dipinto) che all'oggetto (paesaggio reale) di una rappresentazione: al rappresentare corrisponde un duplice oggetto, un oggetto ed un contenuto rappresentati.
• L'oggetto rappresentato (il paesaggio dipinto) è il contenuto della rappresentazione (il quadro dipinto) : in "contenuto rappresentato" l'aggettivo "rappresentato" non modifica l'oggetto
• Il contenuto rappresentato è ugualmente un contenuto come il quadro dipinto è un quadro. Come un quadro può essere solo dipinto, così un contenuto può essere solo rappresentato. Non c'è neppure un'attività che potrebbe in questo caso sostituire il rappresentare
• Twardowski poi dice che il contenuto della rappresentazione (il quadro dipinto) e l'oggetto rappresentato (il paesaggio dipinto) sono la stessa cosa. Per l'oggetto "rappresentato" è un'espressione modificante, perchè l'oggetto rappresentato non è più un oggetto, ma il contenuto di una rappresentazione, così come il paesaggio dipinto non è un paesaggio, ma un quadro
• Anche nel caso della rappresentazione ad un certo punto Twardowski rovescia la prospettiva e dice che comunque il contenuto della rappresentazione si riferisce a qualcosa che non è un contenuto della rappresentazione, ma ne è l'oggetto e tale oggetto si può definire anche come rappresentato senza modificarne radicalmente il significato : "L'oggetto è rappresentato" vuol dire che un oggetto è entrato in un rapporto determinato con un essere capace di avere rappresentazioni
• Il fatto che un oggetto è rappresentato può voler dire o che si tratti davvero di un oggetto (il quale nel mezzo di tante altre relazioni può entrare in rapporto anche con un soggetto di conoscenza) o che l'oggetto rappresentato è l'opposto di un oggetto vero e proprio, un contenuto di rappresentazione, qualcosa di assolutamente diverso da un oggetto reale
• Nel primo senso l'oggetto rappresentato può essere affermato o negato attraverso un giudizio (senza virgolette) e ciò in quanto per poter essere affermato o negato un oggetto va rappresentato. Peraltro l'oggetto affermato o negato è sempre un oggetto nel secondo senso cioè un contenuto di rappresentazione (con le virgolette) . Un oggetto nel primo senso non è ciò che è affermato o negato e non lo si ha in mente quando si dice che un oggetto esiste o non esiste. In questo caso infatti l'oggetto rappresentato è il contenuto della rappresentazione.
• Twardowski poi nota che alcuni logici della sua epoca (come Sigwart e Drobisch) confondono i due sensi del termine "rappresentato": Drobisch infatti dice da un lato che l'attività del pensiero, in quanto considera solo il rappresentato e prescinde dalle condizioni soggettive del rappresentare, forma dei concetti (rappresentato inteso come contenuto), da un altro lato invece dice che la designazione linguistica del concetto è il nome (che viene considerato come designazione della cosa) ma ciò che nel concetto è rappresentato è la cosa nella misura in cui è venuta a conoscenza
• Twardowski poi però acutamente precisa che l'approccio giusto è dire che il nome significa il concetto, ma che proprio per questo designa la cosa
• Contnuando l'analogia con il dipinto Twardowski dice poi che, come il pittore, rappresentando un paesaggio, dipinge un quadro (per cui il paesaggio è l'oggetto primario, mentre il quadro l'oggetto secondario) così chi si rappresenta un cavallo, si rappresenta un contenuto che si riferisce al cavallo.
• Il cavallo reale è l'oggetto primario del rappresentare, il contenuto, per mezzo del quale l'oggetto è rappresentato, è l'oggetto secondario dell'attività di rappresentazione. Twardowski a tal proposito cita Zimmermann per il quale il contenuto è pensato nella rappresentazione, mentre l'oggetto è rappresentato per mezzo del contenuto di rappresentazione: ciò che è rappresentato in una rappresentazione è il contenuto, mentre ciò che è rappresentato per mezzo di una rappresentazione è il suo oggetto
• Twardowski dice poi che se il destare un contenuto di rappresentazione è il mezzo attraverso cui il nome designa un oggetto così lo stesso contenuto di rappresentazione è il mezzo attraverso cui l'atto di rappresentazione rappresenta un oggetto. Twardowski a tal proposito critica al distinzione operata da Kerry tra "il rappresentato come tale" ed il rappresentato puro e semplice. Twardowski infatti dice che in genere la locuzione "come" viene premessa ad un'ulteriore determinazione, ma se l'aggiunta connessa al nome (in questo caso "tale") risulta essa stessa ambigua, allora l'equivocità non è eliminata.
• Qualcosa può essere considerato come "qualcosa di rappresentato" in un duplice senso o in quanto è oggetto o in quanto contenuto di un atto di rappresentazione : nel caso in cui "rappresentato" = oggetto rappresentato, allora in "rappresentato come tale", "come tale" è una determinazione attraverso la quale ci si riferisce ad una relazione tra oggetto e soggetto conoscitivo. Nel caso in cui invece "rappresentato" = contenuto della rappresentazione, allora, in "rappresentato come tale", "come tale" opera una modificazione in quanto il rappresentato non è l'oggetto, ma il contenuto.
• Twardowski conclude che la miglior definizione è quella di Zimmermann per cui il contenuto è rappresentato nella rappresentazione, mentre l'oggetto è rappresentato per mezzo della rappresentazione.

Su questa tematica si possono svolgere le seguenti osservazioni:

1. Il cosiddetto aggettivo modificante è in realtà un attributo relativo al grado di realtà del soggetto logico o che in maniera surrettizia contraddicono il termine a cui si attribuiscono (così come in maniera inversa "un corpo è esteso" è secondo Kant una proposizione analitica apriori). Il filosofo della religione I.T. Ramsey parla di attributi che massacrano i soggetti a cui aderiscono. La dialettica forse usa anche attributi del genere.
2. In genere quanto più la classe cui si riferisce il soggetto è ampia, minore è la possibilità che l'attributo sia modificante : ad es. "uomo falso" può essere attributivo così come "uomo di parte", mentre "giudice di parte" è modificante ("uomo" è una classe più comprensiva di "giudice")
3. Si deve dire che un pittore rappresenta un paesaggio dipingendo un quadro (" dipingere un paesaggio" è un'errore di grammatica logica)
4. Si può dire che non è che la medesima attività abbia due oggetti (quadro e paesaggio) dal m omento che ci sarebbe un'attività spirituale (descrivere un paesaggio) e un'attività materiale (modificare una tela) collegate tra loro. L'attività spirituale ha un grado più generale, mentre dipingere è già una concretizzazione specifica di tale attività spirituale (l'intuire e l'esprimere di Croce)
5. Si potrebbe anche dire che in un atto solo si coinvolgono due oggetti unendoli tra loro: si modifica la tela rappresentando il paesaggio. Prima ci sono la tela ed il paesaggio separati, poi c'è una tela dipinta che rappresenta il paesaggio.
6. Un quadro di un paesaggio è una tela dipinta che rappresenta un paesaggio
7. In "Quadro di un paesaggio", "paesaggio" specifica il contenuto di un quadro.
8. Perchè si dice che un paesaggio non è reale, ma solo dipinto ? Twardowski fa un'interpretazione platonica: la tela non è realmente trasformata, l'operazione non aggiunge niente alla tela; essa è solo una degenerazione ed uno sfocarsi, un indebolirsi del suo oggetto : il paesaggio è ridotto a mero quadro. ma questo implica il rimuovere la portata ontologica dell'arte e della prassi
9. "Dipingere" può avere due significati distinti, ma tale equivocità rispecchia la complessità dell'atto rappresentativo
10. "Dipinto" non è attributivo, ma modificante anche nel caso della tela, dal momento che la tela non è più tale ma è un paesaggio dipinto. Un dipinto non è più tela, nè paesaggio, ma un'altra cosa
11. Il paesaggio dipinto non è vero paesaggio se lo si guarda ad un certo livello analitico (dove si possono vedere le pennellate), ma ad un livello più alto (ad uno sguardo d'insieme) perchè non si può configurare come vero paesaggio? Del resto il paesaggio non è uno scorcio, una prospettiva, già di per sè un incontro tra soggetto ed oggetto? Il paesaggio in sè non è già una rappresentazione ? E così anche la Fornarina realmente vista da Raffaello ?
12. La proposizione "Questo paesaggio lo conosco: l'ho visto alla mostra d'arte." equivale a dire "Questo paesaggio lo conosco: me lo ha ben descritto Giovanni". Per cui il dipinto è linguaggio (raffigurazione logica) e guardare un dipinto è knowledge by description.
13. In questo caso "paesaggio dipinto" si riferisce a quel che il dipinto ci descrive del paesaggio, ma non a quello che il dipinto non descrive e/o non può descrivere. Un dipinto ci dà alcune informazioni, ma in esso non possiamo muoverci (questo è già possibile in una rappresentazione virtuale), per cui la realtà di una rappresentazione è funzione di ciò che con la rappresentazione possiamo e vogliamo fare (ci sono rappresentazioni che sono considerate a basso livello di "realtà" perchè sono usate al di sotto delle loro possibilità : ad es. "Dio" non ha grande rilevanza per chi non è abituato a pregare). Così una rappresentazione per essere intersoggettiva (comunicazione) deve passare per un veicolo segnico evidentemente materiale.
14. Considerare il contenuto un che di unicamente psichico trascura il ruolo del noema (il meaning), il fatto che lo psichico è semplicemente un livello di apparizione di qualcos'altro. Mentre nel dipinto la tela è comunque una cosa reale utilizzata per rappresentare, il contenuto non si sa se sia qualcosa di psichico usato per designare un oggetto o sia a sua volta un oggetto reale somigliante ad un altro ed usato per designarlo. Nel contenuto non è distinguibile la tela da cui partiamo per rappresentare
15. "Dipingere" può voler dire fare delle operazioni su un oggetto (una tela), mentre "rappresentare" è un che di spirituale (semiotico) che mette in rapporto due termini immediatamente, per cui il contenuto rappresentato non è come la tela dipinta. Twardowski passa dal quadro inteso come tela arbitrariamente al quadro inteso come dipinto, ma questo non è possibile sostituendo a "quadro" il "contenuto", perchè è problematico pensare al contenuto in termini materiali.
16. Non c'è un'attività che potrebbe sostituire il rappresentare (così come possiamo sostituire il "dipingere" con l' "incidere") in quanto il rappresentare è un termine più generale che si riferisce all'intero spettro di attività che svolgono quella funzione. Il rappresentare è una funzione mentre il dipingere è un'azione concreta attraverso la quale si svolge la funzione suddetta
17. Twardowski presuppone una differenza tra contenuto ed oggetto analoga a quella tra quadro e paesaggio. ma nel caso di un noema tale differenza non è poi così radicale. Così dire che un oggetto rappresentato non è un oggetto è forse più forzato che dire che un paesaggio dipinto non sia un paesaggio. Anzi mentre forse si può dire "quadro (tela) dipinto" e più impropriamente "paesaggio dipinto", così è più proprio parlare di oggetto rappresentato (che è un oggetto) che di contenuto rappresentato, giacchè è più difficile separare il contenuto dalla sua rappresentazione.
18. Husserl diceva che i fenomeni appaiono e sono l'apparire di se stessi, anche se con le gerarchie dei linguaggi si possono considerare anche i contenuti come oggetti e generare rappresentazioni di questi ultimi, ma con la condizione che in questi casi la distinzione è sottile e difficile e bisogna perciò spesso ancorare la referenza a qualcosa di attinto non col pensiero, ma con la percezione (l'esistenza che è data)
19. Quando si dice che la rappresentazione è un rapporto determinato tra l'oggetto ed il soggetto conoscente, si interpreta naturalisticamente e non fenomenologicamente la rappresentazione e nel caso dei noemi bisogna fare un modello metafisico del rapporto tra noemi ( interpretati ad es. come idee platoniche) e soggetto conoscente. Frege avrebbe parlato più coerentemente di sinn e bedeutung, ma il problema è l'interpretazione psicologista del sinn e del contenuto.

Twardowski e i nomi

Più prudentemente di altri Twardowski parla di analogia tra pensiero e linguaggio, ma non di completo isomorfismo. A tal proposito dice il filosofo polacco, Mill distingue tra cose e rappresentazioni, così come egli distingue tra oggetti e contenuti della rappresentazione.

Mill infatti intenderebbe con "rappresentazione" solo il contenuto e non l'atto di rappresentazione. Sulla scia di Mill Twardowski dice che il nome, nominando una cosa, comunica una rappresentazione: i nomi sono lo stesso che i segni categorematici, cioè i segni che non sono semplicemente co-significanti, ma che tuttavia di per sè non costituiscono l'espressione completa di un giudizio, ma appunto solo l'espressione di una rappresentazione.

Come per Boole, un nome deve destare un determinato contenuto di rappresentazione, ma il significato di un nome non è solo la rappresentazione che induce nel ricevente, ma anche il fatto che l'emittente ha questa rappresentazione. Per Twardowski il significato è un contenuto mentale evocato nell'emittente e nel ricevente, ma al tempo stesso il nome può anche designare oggetti. Perciò si deve distinguere le diverse funzioni di un nome :

• rendere noto un'atto di rappresentazione in chi parla
• destare un contenuto mentale in chi ascolta
• designare un oggetto

Che considerazioni si possono fare su questa tesi?

Mentre Mill considera le rappresentazioni obiettivandole e slegando realisticamente cose e rappresentazioni, Twardowski ha un atteggiamento più ambiguamente idealistico, giacchè per lui l'oggetto è sempre l'oggetto di una rappresentazione. Inoltre perchè per Mill "rappresentazione" non include l'atto della rappresentazione? Tali atti non sono obiettivabili? Inoltre più di rappresentazione psicologica non è il caso di parlare di "senso logico"? E ancora pèer Twardowski i predicati sono (come forse in Frege) sincategorematici? E poi una rappresentazione non costituisce l'espressione di un giudizio? E l'espressione di un giudizio e quella di una rappresentazione non sono lo stesso? Nell'espressione di un giudizio si può distinguere quello che il giudizio ha più di una rappresentazione? E cosa distingue un'espressione da una rappresentazione? Cos'è un'espressione?

Inoltre dicendo che il significato di un'espressione sia anche il fatto che l'emittente abbia una rappresentazione la tesi di Twardowski non tiene conto del test di Turing e della possibilità che l'emittente sia una macchina. Inoltre il contenuto mentale è davvero riducibile ad una rappresentazione? O ha una struttura logica irriducibile a quest' ultima? E ancora la designazione si ha attraverso il significato o indipendentemente da esso?