Bolzano e la comunicazione scientifica

Bolzano dice che tutta la comunicazione in un libro si svolge tramite segni scritti ed è necessario che al lettore vengano foniti anche altri segni che insegnino l'uso dei primi segni. Anche nei trattati di scienze matematiche c'è una notevole quantità di segni specifici, la cui notevole perfezione è una delle cause principali dei notevoli progressi fatti da questa scienza.
Bolzano aggiunge che le regole sono in parte espressamente stabilite, in parte tacitamente osservate, Ci sono regole specifiche per l'invenzione di questi segni e regole per il loro uso. A tal proposito, due sono le regole da seguire:
A) non si adoperi per quanto possibile alcun segno, se prima non si è reso noto al principiante il suo significato (informazione). Tali informazioni consisteranno solo di proposizioni espresse tramite altri segni scritti. Se però bisogna dare informazioni al lettore sui segni di una rappresentazione composta, e se questa è formata da rappresentazioni semplici che hanno segni già noti al lettore, un eccellente mezzo di informazione consiste nell'ordinare i segni nello stesso ordine con cui le rappresentazioni semplici costituiscono le rappresentazioni composte (informazione mediante scomposizione analitica o spiegazione o determinazione concettuale) ad es. un triangolo viene chiamato isoscele se ha due lati uguali. Tale strumento non è sempre applicabile e non lo è ad es. con rappresentazioni assolutamente semplici nè con rappresentazioni composte di cui non conosciamo gli elementi. In questi casi ci sono altri mezzi di informazione di cui uno dei più generali è mettere insieme diverse proposizioni dove compare il concetto rappresentato collegandole di modo che non si pensi ad un altro concetto al suo posto. Confrontando queste proposizioni, i lettori possono desumere dal segno stesso il suo senso.
B) c'è poi il dovere in certi casi di giustificare specificamente la scelta del dato segno, mostrando che esso è conforma allo scopo scelto. Esso è particolarmente indicato quando ci prendiamo la libertà di introdurre un nuovo segno o di modificare il significato di un segno già in uso.
Bolzano poi dice che è impossibile evitare l'uso di segni e termini che non portino con sé una rappresentazione secondaria appartenente al concetto da designare. Se anche fosse possibile, aggiunge Bolzano, non sarebbe utile in quanto proprio quelle rappresentazioni ssecondarie facilitano il compito di cogliere certe verità. Sarebbe sbagliato solo servirsi di tali rappresentazioni secondarie per derivarne ciò che non sappiamo dedurre dai concetti stessi. Spesso si fa uso di termini tecnici, segni e locuzioni che, in forza di rappresentazioni secondarie, si allontanano dal loro significato originario. Ad es. nella teoria pura dei numeri e nella teoria pura delle grandezze si mantengono termini tecnici presi a prestito da certi rapporti che hanno luogo nello spazio e nel tempo, anche se i concetti di queste scienze non si fondano su rappresentazioni spazio temporali, in quanto è sempre possibile esporre queste teorie senza fondarle su proprietà di tempo e di spazio.
Seppure (continua Bolzano) si volesse dimostrare che non è possibile farlo o che in ogni esposizione si insinuano rappresentazioni spazio-temporali, ciò si dovrebbe dedurre non dalla mera circostanza che quei termini tecnici contengono rappresentazioni, ma si dovrebbe dimostrare che, o i concetti stessi contengono le rappresentazioni da evitare, oppure che nell'esporre le spiegazioni si siano dedotte conseguenze che non risultano dai concetti stabiliti, ma solo dai termini tecnici scelti per designarli, grazie alle rappresentazioni secondarie che essi comportano.
Per Bolzano rappresentazioni e proposizioni sono per noi intelligibili solo se si può chiarire se esse siano semplici o composte, ed in quest'ultimo caso di quali altre rappresentazioni più semplici esse consistano.
Bolzano aggiunge che lo sforzo di rendere intelligibili i nostri concetti e giudizi ci risolve molte difficoltà e chiarifica concetti che ci siamo formati gradualmente sin dall'infanzia, senza che siamo in grado di dire se siano semplici o composti.
Inoltre non sapremo mai dire con assoluta sicurezza se un concetto sia semplice o no; e se lo presentiamo come semplice dobbiamo far vedere che tutti i tentativi di renderlo composito non possono riuscire, mentre se lo vogliamo presentare come composto. dobbiamo far vedere che appunto è composta da altri concetti.
Bolzano poi accenna ad un metodo meno rigoroso (che sarà molto usato) e cioè mostrare che i concetti che vanno spiegati sono collegabili (o sostituibili) da altri concetti che, se non identici, saranno equivalenti: ad es. spieghiamo il concetto di "corpo esteso" come "un corpo tale che ogni suo punto abbia punti ad esso adiacenti per quanto piccola possa essere la loro distanza reciproca".
Bolzano a tal proposito dice che se saremo in grado di dedurre da questo concetto (definiens) tutte le proprietà che si conoscono dei corpi estesi, sarà allora dimostrato che il nostro concetto è equivalente al definiendum.
Bolzano a questo punto, partendo dalle tesi or esposte, critica i trattati scientifici, dove i primi e più importanti concetti (es. spazio) non sono spiegati e dove tali spiegazioni sono rinviate alla filosofia ed alla metafisica in quanto la matematica sarebbe costruzione di concetti tramite intuizione e non analisi di concetti non rappresentabili intuitivamente.
Bolzano a tale ragionamento obietta che è proprio della scienza che tratta di un oggetto, il luogo per un'analisi esatta del concetto di quest'oggetto. e tale analisi non serve a rendere chiari i concetti base, ma a rendere consapevole chi li usa.
Bolzano a tal proposito dice che se si pretende che il matematico non debba riflettere sui concetti che usa, si fa un'assurdità, giacché in nessun altra scienza quanto nella matematica ci sono concetti chiari quanto intellegibili; infatti, il matematico non solo disegna e designa il quadrato, ma lo spiega e lo definisce, e se non fa questo con i concetti di spazio e corpo, è perchè non è giunto ancora ai loro elementi costitutivi.
Per questo, dice Bolzano, la matematica dovendo riflettere criticamente sui propri fondamenti, non potrà più essere la scienza dove non c'è niente di controverso, ma già contiene questioni controverse (es. contraddizione, logaritmi di numeri negativi, quantità infinite e infinitesimi) a cui si aggiungono le questioni sui fondamenti.
Questo perchè, aggiunge Bolzano una scienza sistematica che non si occupi delle controversie corre dei rischi.
Bolzano conclude questa parte del suo ragionamento dicendo che ci sono alcuni per i quali, più che riflettere sulle proprie basi, la matematica dovrebbe estendere i propri confini.

Molte osservazioni andrebbero fatte su queste tesi:

• La prima è che l'analisi logica va perfezionata dall'analisi semantico-lessicale e dunque deve avere in sè un riferimento storico ed ermeneutico.
• La seconda è che la riflessione sugli strumenti delle singole scienze può essere fatta anche dagli scienziati, ma si tratta sempre di filosofia.
• La matematica può trattare i concetti di piano e di figura, ma non quelli di spazio e di corpo, che pertengono maggiormente alla fisica.
• La questione tra istanze fondative ed istanze estensive all'interno della matematica anticipa forse le interpretazioni della prova di Godel
• Bolzano ha ragione a considerare la sostituzione per equivalente vero-funzionale come un metodo di ripiego nell'ambito della comunicazione scientifica. Egli anticipa le critiche che si possono fare circa la superficialità delle soluzioni neopositiviste al problema delle lingue e dei linguaggi
• Bolzano intuisce anche l'importanza delle rappresentazioni secondarie e di quelle che Frege chiama illustrazioni nella questione della comunicazione scientifica
• L'esistenza di un linguaggio formale e di un altro linguaggio che si riferisce ad esso fa pensare alla storicamente successiva questione dei rapporti tra linguaggio e metalinguaggio.

Bolzano e le compatibilità logiche

Bolzano dice poi che, dei diversi rapporti che possono aver luogo tra proposizioni si evidenziano quelli che risultano dall'introduzione di elementi variabili nelle proposizioni (soggetto, predicato). Diventa interessante ricercare cosa ne sia della verità di queste proposizioni, quando le parti cosiddette variabili vengono sostituite da altre prese a piacere.
Bolzano poi dice che esempi di questo tipo si hanno quando:
a) Le proposizioni A, B, C, D con variabili i,j... abbiano proprietà tali che esistono certe rappresentazioni con cui A, B, C, D sono vere.
b) In tal caso le proposizioni A, B, C, D sono compatibili rispetto alle variabili. Ad es. rispetto alla rappresentazione N sono compatibili la proposizione "N è dispari" e "N è un quadrato", essendo facile scegliere N di modo che le due proposizioni siano entrambe vere.
c) Invece nel caso di incompatibilità, "la figura X è un triangolo" e "Due angoli della figura X sono retti", sono due proposizioni incompatibili
d) Se A, B, C sono compatibili con M, N..... vi sono rappresentazioni di i, j... che rendono vere sia A, B, C che M, N, ...
e) Vi è il caso in cui tutte le rappresentazioni sostituite da i, i.... rendono vere sia A, B, C, che M, N..... In tal caso si dice che M (conseguenza) è deducibile da A, B, C che sono in tal caso premesse.
f) C'è un significato ampio di deducibilità per cui M, N sono deducibili da A, B, C per tutte le rappresentazioni e c'è un significato ristretto di deducibilità per cui non tutte le rappresentazioni rendono vere A, B, C, ma quando lo fanno si ha che M,N sono vere anche quando è vera solo A, solo B o solo C.
g) Se il rapporto di deducibilità è chiaro al primo sguardo e si fonda sulla mera forma della proposizione, si suole parlare di conseguenza logica. Ci sono poi proposizioni reciprocamente deducibili (equivalenza)
h) C'è poi il rapporto di contraddizione tra "Alcuni A sono B" e "Ogni A è un non-B" e il rapporto di mera incompatibilità (dove i termini sono contrari tra loro) tra "Tutti gli A sono B" e "Nessun A è B"

Circa questa a mio parere lacunosa esposizione dei rapporti tra funzioni proposizionali, c'è da dire quanto segue:
In primo luogo Bolzano qui sembra considerare le rappresentazioni come interpretazioni e dunque saturazioni delle funzioni (delle variabili)
In secondo luogo in realtà se "Alcuni A sono B" equivale a "Alcuni A sono B ed alcuni A non sono B" (come dovrebbe essere) e se tale proposizione è falsa, da ciò si può dedurre sia "Nessun A è B" sia "Tutti gli A sono B"
In terzo luogo "Alcuni A sono B" è ambigua ed è una proposizione epistemica (non ontologica). Rientrano in un'ontologia estensionale "Tutti gli A sono B", "Nessun A è B", "x, y, z sono B". Rientra in un'ontologia (anche se non estensionale) "Alcuni A sono B ed altri A non sono B"

Bolzano, le rappresentazioni miste e le verità concettuali

Bolzano dice pure che ci sono rappresentazioni miste, rappresentazioni che sono composte in parte di concetti e in parte di intuizioni e che si dividono in
A) intuizioni miste come "la stella Aldebaran" dove la rappresentazione principale è un'intuizione
B) concetti misti come "abitante della Luna" dove la rappresentazione principale è un concetto (es. abitante)
Bolzano dice che le proposizioni in cui tutti gli elementi sono puri concetti sono, a loro volta, pure proposizioni concettuali e, se sono vere, pure verità concettuali.
Invece le proposizioni che contengono una qualche intuizione sono proposizioni intuitive o empiriche.
E Bolzano aggiunge che esistono intere scienze in cui consideriamo come legge il fatto che tutti i teoremi in esse contenuti sono pure verità concettuali (es. teoria dei numeri)
Le verità concettuali vengono pure chiamate a priori, ma tale termine indica più il modo in cui veniamo a conoscenza di queste verità. Inoltre alcune verità concettuali (come le proposizioni sui numeri primi) sono conoscibili tramite una sorta di esperienza.

Su queste tesi si può osservare in primo luogo che
Bolzano a ragione asserisce che è l'ambito delle proposizioni concettuali e non il loro statuto conoscitivo a definirne l'essenza, anche se sbaglia a considerare le leggi di Newton come pure proposizioni concettuali.
Inoltre è problematico dire che delle proposizioni sono conoscibili tramite esperienza se in esse non è presente alcun elemento intuitivo.

Bolzano e le rappresentazioni semplici

Bolzano poi si sofferma sulle rappresentazioni semplici che contemporaneamente hanno un unico oggetto.
Egli dice che spesso facciamo uso di rappresentazioni semplici ogni volta che pronunciamo il giudizio che un certo oggetto esercita un effetto su di noi. Tale effetto deve essere percepito e dunque se ne deve avere una rappresentazione tale che rappresenti solo quell'effetto. Essa deve poi essere una rappresentazione singola, che si possa esprimere cioè con "Questo che si sta producendo in me..."
Una rappresentazione di tal genere rappresenta un unico oggetto (dato da "questo"). Se la rappresentazione si riferisse, oltre che all'effetto dell'oggetto su di noi, anche su qualche altra modificazione simile, non useremmo il termine "questo" (indeterminato), ma "siffatto" (qualcosa fatto come questo qui).
Bolzano poi aggiunge che ci sono rappresentazioni assolutamente semplici quali "questo" senza alcuna aggiunta. Bolzano dice che l'oggetto che rappresentano rimane uno e medesimo sia o meno accompagnato da tali aggiunte (aggiunte che esprimono le proprietà che competono all' unico oggetto che ci stiamo rappresentando), già per il fatto che è proprio questo e nessun altro, tanto da rendere ridondante la stessa rappresentazione.
Bolzano dice poi che con questa rappresentazione ci vengono involontariamente in mente delle aggiunte del tipo "...che proprio adesso sto percependo" oppure "...rosso" o "...azzurro"
Per Bolzano dunque è provato che esistano rappresentazioni singole semplici, sebbene non siano concepite da noi isolatamente, ma sempre in connessione con altre...
Egli però conclude che, poichè non si genera rappresentazione composta senza che la si produca a partire dalle sua parti semplici, non v'è dubbio che ognuna delle rappresentazioni semplici che abbiamo menzionato deve, per un breve periodo, esistere isolatamente nella nostra mente.
Bolzano denomina intuizioni le rappresentazioni semplici e con un solo oggetto, mentre le rappresentazioni che non sono intuizioni ed al tempo stesso non contengono intuizioni come elementi dà il nome di concetti.
Concetto è ad es. la rappresentazione "qualcosa" che è una rappresentazione semplice, ma rappresenta non un oggetto, ma una molteplicità infinita di oggetti.
Concetto è anche la rappresentazione "Dio" che ha un solo oggetto, ma non è semplice, bensì composta, dal momento che dicendo "Dio" o penso al reale assoluto, al reale che non ha un fondamento ulteriore della sua realtà.
Altrettanti meri concetti sono la rappresentazione "proposizione", "proposizione vera", "proposizione falsa", percè in esse non c'è nessun elemento semplice che sia una rappresentazione singola.


Su queste tesi di Bolzano sono possibili le seguenti osservazioni:
In primo luogo la semplicità della rappresentazione con "questo" può ben essere fittizia, anche perchè essa implica anche il ricordo o la visione di "quello".
In secondo luogo, egli pur introducendo la questione degli indicali, trascura la critica che Hegel (cui lui tanto si contrappone) ha fatto a questi concetti accusati di vuotezza e genericità. Egli forse non si accorge che forse la ridondanza della rappresentazione è forse il segno dell'eccedenza dell'indicale rispetto a se stesso (e dunque della sua intima contraddizione). Il fatto che le aggiunte dell'indicale ci vengano secondo Bolzano involontariamente, è un altro senso del fatto che l'indicale tenda a negare e superare se stesso. Anche il fatto che (guarda caso !) le rappresentazioni semplici sono comunque sempre pensate in connessione con altre, è un segno del fatto che la teoria di Bolzano ha bisogno di una ricca integrazione con altre tesi dialetticamente orientate. Inoltre la tesi psicologica di Bolzano per cui non si genera rappresentazione composta se non a partire dalle sua parti semplici è in realtà un'ipotesi psicologica che si spaccia per certezza.
In terzo luogo, le intuizioni sono da Bolzano denaturalizzate e concettualizzate forse arbitrariamente, mentre i concetti sono assolutamente privati di una base intuitiva. Bolzano poi non spiega cosa siano le generalizzazioni (intuizioni o concetti ?). Sono gli pseudo-concetti di Croce ?
In quarto luogo "rappresentazione semplice" è una rappresentazione che può riferirsi ad oggetti infiniti, ma che è espressa linguisticamente da un solo termine ? E se l'unità si verifica a livello di contenuto, come si distingue un contenuto unitario da uno che unitario non lo è ?
In quinto luogo, perchè il Reale assoluto è per Bolzano una rappresentazione composta? E se "Dio" è una rappresentazione composta, esso non si concepisce più per se (si pensi a Spinoza) ? La rappresentazione di Dio allora non è più Dio stesso ?
In sesto e ultimo luogo Bolzano non ci dice di quali elementi sono composte rappresentazioni tipo "proposizione vera". Ma in questo modo la sua tesi risulta inverificabile.

Rappresentazioni senza oggetto e loro estensioni in Bolzano

Bolzano afferma che molti dei rapporti tra rappresentazioni ed estensioni di esse si applicano anche alle rappresentazioni senza oggetto.
Ad es. un corpo con più di 20 facce uguali è più alto di un corpo con 21 facce uguali e perciò se dimostriamo che non esiste il primo, dimostriamo pure che non esiste il secondo.
Bolzano a tal proposito dice che questo può accadere quando a proposito di rappresentazioni senza oggetto, noi pensiamo certi loro elementi i, j, .... come variabili e facciamo in modo da confrontare tra loro le infinite molteplici nuove rappresentazioni che si formano sostituendo a i, j.... rappresentazioni sempre diverse ogniqualvolta che l'una o l'altra di queste diventi una rappresentazione con oggetto. In altre parole A e B sono rappresentazioni equivalenti rispetto alle loro parti variabili (i, j.....) quando le rappresentazioni in cui A e B si risolvono sostituendo a i, j....altre rappresentazioni a piacere, si equivalgono reciprocamente e designino gli stessi oggetti, ogni qualvolta abbiano in genere un oggetto.
Invece A è rappresentazione più alta di B ogniqualvolta che A o B diventino rappresentazioni con oggetto tramite una certa determinazione di i, j......
A rappresenta tutti gli oggetti di B ed anche altri: ad es. "radice di (-1)" e "[-1/radice di (-1)]" sono equivalenti rispetto all'elemento variabile (-1) in quanto si equivalgono reciprocamente ogni qualvolta a (-1) si sostituisce qualsiasi altra grandezza, operazione con la quale "radice di (-1)" diventa rappresentazione con oggetto.
Bolzano poi definisce l'ampiezza di una rappresentazione che è una grandezza che determina l'insieme di tutti gli oggetti ad essa sottostanti. Ad es. A e B hanno la stessa ampiezza quando hanno lo stesso numero di oggetti, mentre A e B hanno la stessa altezza quando hanno gli stessi oggetti (equivalenza). A è più ampia di B quando ha più oggetti di B a prescindere dal fatto che gli oggetti di B siano o non siano al tempo stesso anche oggetti di A. Dunque ogni rappresentazione più alta è anche più ampia, ma non è detto che ogni rappresentazione più ampia sia anche più alta.


A queste tesi di Bolzano vale la pena fare le seguenti considerazioni:
Bolzano in primo luogo sembra anticipare la teoria degli oggetti sussistenti di Meinong.
In secondo luogo se queste rappresentazioni senza oggetto sono differenziabili tra loro, esse non sono niente di soggettivo a cui non corrisponda un ente reale, ma sono enti noematici (o noemi) a cui non corrispondono entità ad un livello più concreto di esistenza.
In terzo luogo Bolzano non specifica cosa voglia dire la mancanza di un oggetto per una rappresentazione (inesistenza fenomenica, inesistenza nel mondo reale, inesistenza assoluta)
In quarto luogo Bolzano invece di sviluppare (come farà Meinong) un discorso sugli oggetti sussistenti, collega il senso delle proposizioni su rappresentazioni senza oggetto a delle analogie di queste proposizioni con proposizioni riguardanti rappresentazioni con oggetto. ma a questo punto il senso delle rappresentazioni senza oggetto sarebbe fittizio. In un certo senso Bolzano con la sua ambiguità anticipa entrambe le soluzioni (quella di Frege e quella di Russell) al problema degli oggetti non esistenti di Meinong. In pratica egli vuole dire che il senso delle rappresentazioni senza oggetto è tutto nelle proposizioni (nei predicati, nei concetti, nelle funzioni) nelle quali esse ingrediscono: proposizioni che non sono altro che funzioni proposizionali.
Ad es. [ "radice di (-1)" = (-1)/"radice di (-1)"] ha un senso perchè ha un senso x = (-1)/x e solo per questo.
Tuttavia Bolzano non tiene conto del fatto che se x = (-1)/x ha un senso come locuzione pure ["radice di (-1)" = (-1)/"radice di (-1)"] ha un senso diverso da ["radice di (-4)" = (-1)/"radice di (-4)"] e da ad es. ["radice di (3)" = (-1)/"radice di (3)"] e se ha tale senso proprio , allora ciò vuol dire che anche "radice di (-1)" ha un senso proprio diverso da "radice di (-4)" e da "radice di (+3)".
Dunque anche il sinn delle funzioni proposizionali presuppone il sinn dei loro rispettivi costituenti e tale sinn implica almeno un grado minimo di esistenza di tali costituenti, per cui le rappresentazioni senza oggetto sono semplicemente oggetti ad un livello più astratto di esistenza di quello immediatamente preso in considerazione

Bolzano e le estensioni delle rappresentazioni

Bolzano dice che, in una rappresentazione con oggetto, si chiama estensione la totalità di oggetti ad essa sottostanti.
A tal proposito Bolzano elabora una casistica che corrisponde un po' alla logica delle classi :
I) Nel caso che una coppia di rappresentazioni A e B abbia uno o più oggetti comuni (sottostanti cioè sia ad A che a B ), le due rappresentazioni si dicono compatibili o concordanti (es. quadrilatero e figura regolare)
II) Se non esiste alcun oggetto che sottostà ad A e a B, A e B si escludono reciprocamente (es. triangolo e quadrilatero)
III) Quando qualsiasi oggetto sottostante a B, sottostà anche ad A, allora A comprende B, A è cioè la rappresentazione comprendente mentre B è la rappresentazione compresa. Ad es. la rappresentazione "curva conica" è compresa nella rappresentazione "curva di secondo grado" in quanto tutte le coniche sono curve di secondo grado, mentre non si sa se tutte le curve di secondo grado siano coniche. Altro es. la rappresentazione "numero" coprende la rappresentazione "numero pari".
IV) Quando qualsiasi oggetto, sottostante a B, sottostà anche ad A e qualsiasi oggetto, sottostante ad A, sottostà anche a B, allora A e B sono equivalenti (es. triangolo equilatero e triangolo equiangolo)
V) Quando il rapporto di comprensione tra due rappresentazioni A e B non è reciproco, si dice che A è più alta di B (e B è più bassa di A). Ad es. "quadrilatero" è più alto di "quadrato", mentre "poligono" è più alto di "quadrilatero".
VI) Nel caso non sussista rapporto di comprensione tra A e B, ma A e B siano concordanti, allora esiste un qualche oggetto che sottostà ad A e B, qualche oggetto solo ad A, qualche oggetto solo a B. In questo caso A e B sono concatenate ed avviluppate (es. quadrilatero e figura regolare)
VII) Nel caso particolare di mutua esclusione (caso II), quando dati A e B, tutti gli oggetti che non sottostanno ad A, sottostanno a B, e tutti gli oggetti che non sottostanno a B, sottostanno ad A, allora A e B si contraddicono reciprocamente (sono cioè opposte contraddittorie). In tutti gli altri casi di incompatibilità A e B sono meri contrari (es. triangolo e quadrilatero).

Circa questa classificazione
si dirà riassumendo che le rappresentazioni si distinguono in rappresentazioni compatibili e rappresentazioni incompatibili (o escludenti)
Le prime si distinguono in rappresentazioni comprensive (che a loro volta si dividono in equivalenti e subordinate) e rappresentazioni avviluppate (caratterizzate dalla presenza di un insieme intersezione). Le seconde si distinguono in rappresentazioni contraddittorie e rappresentazioni contrarie
A tal proposito ci preme evidenziare che quelle contrarie ci sembrano semplicemente rappresentazioni diverse (tipo appunto triangolo e quadrilatero), mentre le contraddittorie possono essere solo quelle caratterizzate dalla coesistenza di un insieme qualunque e dal suo insieme complemento
Inoltre è problematico parlare di contraddittorietà quando non si parla di proposizioni, ma di sole rappresentazioni (o concetti).

L'oggetto e il contenuto della rappresentazione in Bolzano

Bolzano poi parla dell’oggetto e del contenuto delle rappresentazioni.
Egli dice:

• Si chiama oggetto di una rappresentazione qualunque cosa reale o non reale di cui si possa dire che venga rappresentato da una rappresentazione. Oggetto della rappresentazione è ciò di cui tratti una proposizione che ha questa rappresentazione come soggetto
  Ad es. le stelle Sirio, Rigel e Aldebaran sono oggetti della rappresentazione “stelle di prima grandezza”; oppure i numeri 1, 3, 5, 7, 11, 13 sono oggetti rappresentati dalla rappresentazione “numero primo”; oppure ancora i numeri 2, 3, 4 sono i tre oggetti rappresentati dalla rappresentazione “radice dell’equazione x3 (x al cubo) – 9x2 (x quadro) + 26x – 24”
• Vi sono rappresentazioni con infiniti oggetti (es. “numero primo”), rappresentazioni con un solo oggetto (“fratelli di Romolo”) e rappresentazioni senza oggetto ( “I figli di Hitler” )
  Altri esempi : a) La rappresentazione “Universo” ha un unico oggetto; b) “radice reale x3 (x al cubo) – 1 = 0 ” ha un unico elemento (oggetto) e cioè il numero 1; c) “Nulla” non rappresenta nessun oggetto né di reale né di non-reale; d) “quadrilatero rotondo” pure è una rappresentazione senza oggetto includendo proprietà che si contraddicono reciprocamente
• Si deve poi distinguere tra A) rappresentazione che rappresenta gli oggetti indicati ma ancora insieme con altri (ad es. “qualcosa” indica una bottiglia come un piatto di pietanze) e B) rappresentazione di determinati oggetti e che dunque rappresenta solo questi oggetti e non altri
• Bolzano poi approfondisce il concetto di rappresentazione del nulla (una rappresentazione che non rappresenta). A tal proposito ricorda che una denominazione può essere sempre insufficiente, senza che però si debba respingere il concetto che ad essa colleghiamo.
• A tal proposito, il concetto che si collega alla parola “rappresentazione”, quando si denomina in questo modo un elemento di una proposizione il quale a sua volta non costituisce una proposizione di per sé completa, non richiede per nulla che esista un oggetto da essa rappresentato
• Ogni elemento di una rappresentazione, chiamato la sua rappresentazione-soggetto, deve essere una rappresentazione con oggetto in quanto deve rappresentarci l’oggetto di cui parliamo in quella proposizione (il soggetto grammaticale). Parimenti qualsiasi elemento di una proposizione, chiamato rappresentazione-predicato, deve essere una rappresentazione con oggetto in quanto deve rappresentarci la proprietà che nella proposizione attribuiamo a quell' oggetto
• Anche le parti più remote in cui consistono gli elementi prossimi di una proposizione spesso ulteriormente composti debbono parimenti rappresentare ognuno un oggetto. Ad es. in “La rappresentazione √-1 è composta” qui la rappresentazione-soggetto designata da “La rappresentazione √-1” è una rappresentazione con oggetto “√-1” (radice di -1). A sua volta però “√-1”, ulteriore elemento della proposizione presente in questa rappresentazione, non rappresenta in sé nessun oggetto.
• Se chiamiamo rappresentazione ogni elemento di una proposizione, ci sono allora rappresentazioni prive di oggetto in quanto se “un corpo delimitato da n facce laterali uguali” è una rappresentazione, essendo n = 4, allora è una rappresentazione (senza oggetti) con n = 2 da usare in una dimostrazione geometrica.
  

A queste tesi di Bolzano si può osservare che:

1. Quella di Bolzano non è una definizione circolare, sia nel primo sia in modo più nascosto nel secondo caso ? Non sarebbe più significativo dire, utilizzando una terminologia meinonghiana, che si chiamano oggetti sussistenti tutti gli oggetti che possono essere oggetti di una rappresentazione ?
2. Bolzano anticipa la tesi di Frege circa l’oggetto/argomento e il concetto/funzione, ma la sua terminologia è tale da rischiare grande confusione vista l’accezione psicologistica del termine “rappresentazione” Bolzano infatti confonde la rappresentazione con quelli che sono i predicati. Infatti negli esempi suddetti la rappresentazione è un predicato (intensionalmente) o l’insieme di cui gli oggetti sono elementi (estensionalmente). Ad es. Sirio, Rigel e Aldebaran sono elementi dell’insieme delle stelle di prima grandezza.
3. In realtà tutte le rappresentazioni hanno in realtà infiniti oggetti (ad es. i figli di Hitler che sono immaginabili sono sempre infiniti).Perchè gli oggetti di una rappresentazione non siano infiniti, bisogna vincolare la rappresentazione ad un universo di discorso con un numero finito di elementi (ad es. il mondo possibile in cui concretamente viviamo che sia concepito come non-illimitato). C’è da aggiungere che anche nella seconda sequenza di esempi “rappresentazione” è sinonimo di “predicato” e di “insieme”.
4. L’Universo poi in realtà non è un individuo ? Definito cioè l’Universo in un certo modo, esso non è una classe. O bisogna presupporre che ogni individuo sia in realtà una classe con un solo elemento ?
   “Nulla” rappresenta il Nulla o non rappresenta alcun oggetto ? O le due proposizioni sono equivalenti ? Bolzano poi è proprio sicuro che non esistano oggetti contraddittori o come “radice razionale dell’equazione x2 (x quadro) – 2 = 0” ?
5. Bolzano poi intuisce quello che poi sarà definito come l’assioma di comprensione.
6. La separazione che Bolzano opera tra concetto ed espressione linguistica si potrebbe anche applicare alle contraddizioni che sarebbero espressioni contraddittorie di oggetti non-contraddittori.
   In che senso poi Bolzano parla di “esistenza”?
7. L’elemento che a sua volta non è una proposizione completa corrisponde all’argomento/oggetto di Frege, mentre una proposizione completa corrisponde all’asserzione di Frege. A tal proposito però va rilevato che il realismo logico afferma che comunque gli oggetti (o elementi) all’interno dell’asserzione hanno comunque un grado di esistenza diversa da zero, altrimenti l’asserzione non sarebbe logicamente possibile. Perciò non si ha che, distinguendo tra elemento (argomento) e proposizione (asserzione) che si riesca a risolvere il problema del realismo riguardo generalmente agli oggetti di pensiero.
8. Bolzano, come Frege più tardi, unifica il soggetto ed il predicato sotto la categoria di “oggetto”, mostrando una sudditanza all’Idealismo. Perché infatti chiamarlo “oggetto” se non presupponendo la tesi berkeleiana dell’inesistenza di una substantia e della riducibilità dell’ente all’ob-iectum del pensiero ?
9. La tesi del carattere di “oggetto” anche delle parti remote degli oggetti immediatamente accessibili epistemicamente si può collegare alla teoria di Whitehead degli oggetti eterni
10. Dunque ogni elemento di una rappresentazione è a sua volta una rappresentazione. Ma il rappresentare o meno un oggetto da cosa dipende ? Qual è l’ambito in cui bisogna cercare l’oggetto rappresentato (l’universo dei noemi, il mondo fisico)?
11. Perché la “rappresentazione √-1” ha un oggetto ? Basta a tal proposito che ci sia un insieme di segni che formino questo senso ? La rappresentazione dunque esiste sicuramente come finzione ? Come intenzione ? Cos’è propriamente la rappresentazione per Bolzano ?
12. Si potrebbe più coerentemente dire che ogni oggetto di pensiero ha un grado minimo di esistenza. Ci sono oggetti con gradi diversi di esistenza, per cui anche “un corpo delimitato da due facce laterali uguali” ha un grado minimo di esistenza e può perciò essere utilizzato per dimostrare che non ha un determinato grado “n” di esistenza (non esiste ad es. in tutte le geometrie conosciute e sistematizzate).
    
    

Bolzano e i segni caratteristici

Bolzano tratta poi dei segni caratteristici. Egli dice che :

• Gli elementi che formano il contenuto di una rappresentazione non devono essere confusi con i segni caratteristici, né del suo oggetto né di se stessa.
• Segno caratteristico di un oggetto è una qualunque sua proprietà particolarmente adatta a farlo riconoscere. (ad es. un aumento della temperatura e un’accelerazione della circolazione sanguigna sono segni caratteristici di un’eccitazione.
• Essendo anche la rappresentazione un oggetto, essa può avere i suoi segni caratteristici (“essere composta”, “essere semplice”)
• E’ un luogo comune pensare che ogni segno caratteristico dell’oggetto debba comparire anche nella rappresentazione. Ciò non è vero in quanto il concetto “triangolo equilatero” ha un oggetto con dei segni caratteristici (es. tutti gli angoli sono di 60 gradi etc.), ma di questi non si fa menzione nel concetto.
• Il numero di proprietà contenuto dal triangolo equilatero (come da ogni altro oggetto) è infinito. Se tutte le proprietà di una cosa dovessero essere esplicitamente menzionate nella sua rappresentazione, ogni rappresentazione avrebbe un numero infinito di elementi
• Non tutte le rappresentazioni di un segno caratteristico comparenti nel concetto di un’oggetto sono a loro volta segni caratteristici di tale oggetto. Ad es. in un triangolo scaleno la rappresentazione dell’eguaglianza (collegata in questo caso ad una negazione) non corrisponde ad un segno caratteristico dell’oggetto.
  
  A queste tesi vale la pena osservare quanto segue:

1. Una proprietà di un oggetto è un elemento della sua rappresentazione, anche se forse non tutti gli elementi di una rappresentazione sono proprietà essenziali dell’oggetto rappresentato.
2. Un aumento della temperatura non è una proprietà dell’eccitazione, ma un suo effetto. “Essere composta” o “essere semplice” invece sono primamente proprietà essenziali di una rappresentazione o di un qualsiasi oggetto e solo secondariamente suoi segni caratteristici.
3. Bolzano fa due confusioni: tra concetto (lo stesso che l’oggetto idealmente inteso) e rappresentazione, e tra conceptum (l’idea oggettivamente intesa) e conceptus (la nozione soggettiva che noi abbiamo dell’oggetto). Inoltre le proprietà considerate essenziali sono quelle scelte per caratterizzare gli assiomi relativi all’oggetto da cui si fanno discendere tutte le altre proprietà (quelle caratterizzanti i teoremi)
4. Le proprietà dedotte si rispecchiano nei segni caratteristici ? I segni caratteristici non riguardano le proprietà adatte a farlo riconoscere ? E dunque i segni caratteristici non devono rientrare nelle proprietà che si evidenziano nel rapporto immediato con l’oggetto? Inoltre per Bolzano tutte le proprietà di un oggetto sono segni caratteristici ?
5. Nel conceptus (apparenza soggettiva ed immediata del conceptum) può non comparire qualche proprietà essenziale, ma ciò non accade per quanto riguarda il conceptum. La rappresentazione può essere considerata il conceptus che tende al conceptum: il conceptum è oggettivo e coincide (nella sua infinita approssimazione) con l’oggetto stesso. L’inadeguatezza della rappresentazione al suo oggetto è la prova che non può esserci rappresentazione senza oggetto, in quanto la rappresentazione non può mai sostituire l’oggetto stesso senza coincidere con l’infinità (di proprietà e relazioni) dell’oggetto stesso.
6. Si deduce da (6) che le rappresentazioni non si riducono ai loro elementi. D’altro canto Bolzano rappresenta la rappresentazione come un che di atomisticamente scomposto, mentre l’oggetto rimane un che di complesso. Questo è dovuto anche al fatto che una qualità o una relazione collegate ad un altro elemento possono trasformarsi nel loro opposto (il “miracolo” della negazione), per cui la strutturazione degli elementi in sottoinsiemi è un momento fondamentale della costituzione dell’insieme (a dimostrazione della non riducibilità dell’insieme ai suoi elementi)
7. Le proprietà di un oggetto sono rappresentabili anche come un che di composto (es. non-uguale) per cui anche la semplicità o la complessità di un oggetto (o di una rappresentazione) sono reciprocamente traducibili e relative al punto di vista da cui si guardano le cose.