Frege e il valore conoscitivo dell'identità

Frege conclude che, se abbiamo trovato che in generale è diverso il valore conoscitivo di "A=A" e "A=B", questo dipende dal fatto che, per il valore conoscitivo, il senso dell'enunciato, cioè il pensiero in esso espresso, è non meno rilevante della sua denotazione, cioè del suo valore di verità.
Se si ha "A=B", la denotazione di B è allora la stessa che quella di A, e quindi anche il valore di verità di "A=B" è lo stesso di "A=A". Nonostante ciò, il senso di B può essere diverso dal senso di A. Ed anche il pensiero espresso in A=B, può essere diverso da quello espresso in "A=A". I due enunciati non avranno allora lo stesso valore conoscitivo. Se come abbiamo fatto sopra, intendiamo per "giudizio" il progredire del pensiero al suo valore di verità, allora dovremmo anche dire che i due giudizi sono diversi.


C'è comunque un'accezione in cui la tesi di Frege ha un valore filosofico:
se per denotazione non si intende il denotatum, allora come la denotazione ad un nome è il suo riferirsi ad un oggetto, così la denotazione di un enunciato è la sua corrispondenza (positiva o negativa : dunque il suo valore di verità) con uno stato di cose, sia se questo stato di cose è un evento (verità di fatto) sia se questo stato di cose è un'altra asserzione su cui ci sia una sorta di riflessione metalinguistica (verità logica o tautologia)

Il vero come predicato in Frege ed il valore di verità come oggetto

Frege dice che designare i valori di verità come oggetti può sembrare un fatto arbitrario, ma è chiaro che in ogni giudizio inteso come riconoscimento della verità è già avvenuto il passaggio dal livello del pensiero al livello della denotazione. Si potrebbe essere tentati di vedere il rapporto del pensiero con il Vero non come rapporto tra senso e denotazione, ma come quello tra soggetto e predicato. Si può dire infatti che "Il pensiero che 5 è un numero primo è vero", ma con questo non si dice più che "5 è un numero primo".
L'asserzione della verità è in entrambi i casi nella forma dell'enunciato assertivo e quando questo è affermato da un attore sulla scena e non ha la forza abituale, allora anche l'enunciato "Il pensiero che 5 è un numero primo è vero" contiene solo un pensiero.
Dunque il rapporto tra pensiero e Vero non è semplice rapporto tra soggetto e predicato. Soggetto e predicato sono parti del pensiero e conoscitivamente sono a livello del pensiero. Collegando Soggetto e Predicato si rimane sempre nel pensiero e non si passa alla denotazione, ad un livello superiore, al valore di verità del pensiero. Un valore di verità non può essere parte di un pensiero, proprio come non può esserlo il sole, perchè non è un senso, ma un oggetto.
Se la denotazione di un enunciato è il suo valore di verità, questo deve rimanere invariato, quando si sostituisce una parte dell'enunciato con un'espressione avente la stessa denotazione, ma un altro senso. Al di fuori del valore di verità, cosa si potrebbe trovare che tenga conto della denotazione delle parti costitutive e rimanga immutato in una sostituzione del tipo suddetto.
Se dunque la denotazione di un enunciato è costituita dal suo valore di verità, tutti gli enunciati veri avranno la stessa denotazione e così pure tutti gli enunciati falsi. Nella denotazione dell'enunciato viene cancellato ogni aspetto particolare. Ciò che interessa di un'enunciato non dipenderà solo dalla sua denotazione, ma anche il semplice pensiero non dà conoscenza. La conoscenza è la connessione del pensiero con la sua denotazione (il suo valore di verità). Il giudicare è come il progredire (sollevarsi) da un pensiero al suo valore di verità. Si potrebbe anche dire che il giudicare è un distinguere le parti entro il valore di verità e tale distinzione avviene ritornando al pensiero ed ogni senso che appartiene ad un valore di verità (che è vero o falso cioè) corrisponde ad un modo particolare della scomposizione. Si è così trasferito il rapporto tra Intero e parte dall'enunciato alla sua denotazione.


Frege finisce per trattare il Vero e il Falso come oggetti. Lo sono, come tutti i predicati, se considerati metalinguisticamente. Ma in questo contesto si tratta di una tesi che può essere fuorviante.
Inoltre Frege vuole dimostrare che Vero e Falso non sono predicati di un enunciato, in quanto l'enunciato "Il pensiero che 5 sia un numero primo è vero" non aggiungerebbe nulla a "5 è un numero primo". Per dimostrare che quest'argomento è quanto meno controverso basta fare l'esempio inverso : "Il pensiero che 5 sia un numero primo è falso" non aggiunge nulla a "5 è un numero primo" ? Dunque sicuramente Vero e Falso sono predicati che hanno alcune interessanti e paradossali caratteristiche, ma a dire che non sono predicati ce ne vuole.
D'altro canto si può aggiungere che un' eventuale equivalenza logica delle due proposizioni comprometterebbe la natura predicativa della proposizione metalinguistica se e solo se i soggetti delle due proposizioni fossero gli stessi, ma ciò non è. Last but not the least, forse "il pensiero che 5 sia un numero primo è vero" non aggiungerebbe nulla a "5 è un numero primo", Ma il predicato "vero" aggiunge sicuramente qualcosa all'enunciato "5 è un numero primo", giacchè altro è il senso di "5 è un numero primo", altro è l'enunciato "5 è un numero primo" : il predicato "vero" non aggiunge nulla al primo, ma aggiunge sicuramente qualcosa al secondo.
Frege dice che l'asserzione della verità risiede nella forma della proposizione assertoria e dove questa non possegga la sua forza abituale (ad es, in bocca ad un attore) la stessa proposizione metalinguistica enuncierà nulla più che un pensiero.
Anche qui c'è qualcosa da dire : Se l'asserzione della verità risiede nella forma, che c'entra la forza ? E nel caso c'entri la forza, come si può verificare la sua presenza ? E il fatto che una proposizione metalinguistica possa essere falsa cosa c'entra con la natura predicativa di "vero" e "falso" ?
E' vero che collegando Soggetto e predicato non si trapassa alla denotazione. Ma esiste una proposizione che effettua questo trascendimento ? Forse il movimento dal linguaggio al metalinguaggio può candidarsi a tale ruolo ed Hegel lo aveva intuito. Il Vero è una sorta di predicato metalinguistico la cui apparente ridondanza implica forse il carattere di scelta libera del trascendimento metalinguistico stesso e della fondazione apriori del sapere.
Frege dicendo poi che un valore di verità non può essere parte di un pensiero, confonde ciò che è esterno al pensiero con una cosa, per cui il Vero diventa come una cosa, che sarebbe inattingibile al pensiero. Ma il linguaggio ha implicita in sè proprio questa capacità di autotrascendimento, di riferirsi a ciò che è altro da sè.
Non solo l'intenzionalità costituisce tale facoltà di autotrascendimento, ma anche il movimento verso il metalinguaggio, dove all'interno del linguaggio stesso si riproduce la relazione tra linguaggio e Realtà esterna al linguaggio (cosa che evidenzierà anche Wittgenstein). La stessa denotazione, come la realtà in sè kantiana costituisce una delle porte girevoli attraverso le quali il linguaggio si autotrascende in barba ai divieti di Frege.
E ancora tutte le proposizioni (vere o false) hanno denotazione ? O ce le hanno solo quelle vere ? Frege poi arriva alla conclusione (metafisicamente suggestiva) che tutte le proposizioni vere hanno al stessa denotazione (il Vero), quasi a rapportare tutte le proposizioni in un Intero, in un sistema che le tiene collegate le une alle altre. Tuttavia tale concezione, senza una metafisica che la supporti, sembra solo una ulteriore conseguenza paradossale di un assunto errato (il valore di verità come denotazione delle proposizioni,quando invece tale denotazione è costituita dagli stati di cose, dagli eventi), una notte illogica dove tutte le proposizioni vere sono equivalenti, dove tutte le vacche sono nere.
Forse Frege intuisce il contesto filosofico in cui far vivere questa sua tesi, quando dice che per la conoscenza non basta nè il senso nè la denotazione, ma è necessario sia l'uno che l'altra : conoscenza è il sollevarsi di un pensiero al suo valore di verità. Detta così rapsodicamente però tale proposizione sembra solo un punto interrogativo, un momento lirico all'interno di un discorso tutto diverso.
. Si dice comunque (ed è tesi interessante) che Frege ci abbia mostrato come il passaggio da una proposizione ad un’altra avente lo stesso valore di verità (ad es. la conservazione del vero) possa costituire un vero progresso nella conoscenza. Ma la logica così rappresentata è allora cosa diversa da un insieme di mere tautologie ?

Frege e l'uguaglianza

Nel famoso articolo di Frege "Sul senso e la denotazione" ci si domanda inizialmente cosa sia l'uguaglianza, se sia una relazione tra oggetti o una relazione tra nomi. A favore di quest'ultima ipotesi c'è il fatto che A=A e A=B sembrano proposizioni aventi un valore conoscitivo diverso : A=A vale a priori e andrebbe definita analitica, mentre A=B contiene ampliamenti dela conoscenza e non sempre si può fondare a priori. La scoperta che sorge sempre lo stesso sole è stata una grande scoperta astronomica, così come riconoscere che in diverse osservazioni si ha a che fare con lo stesso pianeta non è cosa facile.
Se nell'uguaglianza volessimo vedere una relazione tra ciò che i nomi "A" e "B" denotano (gli oggetti che designano) scomparirebbe ogni diversità tra A=A e A=B, ammesso che l'oggetto 'A' sia proprio uguale all'oggetto 'B'. In questo caso l'uguaglianza esprimerebbe la relazione di una cosa con se stessa, ma che nessuna cosa avrebbe con un'altra.
Perciò sembra che con A=B si intenda che i segni (nomi) per oggetti denotano la stessa cosa (e dunque si tratterebbe di una relazione tra segni). Tali relazioni però sussisterebbero solo tra nomi che designano qualcosa e sarebbe resa possibile dalla connessione dei due segni con la medesima cosa designata. Ma se fosse così, il rapporto di uguaglianza sarebbe arbitrario, giacché non si può impedire a nessuno di assumere, come segno di qualcosa, un qualsiasi oggetto o evento preso arbitrariamente.
A=B riguarderebbe solo il nostro modo di designazione e dunque non esprimerebbe conoscenza. Se il segno 'A' si distinguesse dal segno 'B' solo perchè ha materialmente una forma diversa e non per il modo in cui designa qualcosa, il valore conoscitivo di A=A sarebbe lo stesso di A=B (sempre che sia ammessa la verità di A=B). La teoria che vede nell'eguaglianza un rapporto tra nomi si troverebbe di fronte alle stessa difficoltà in cui si trova la teoria dell'uguaglianza intesa come rapporto tra oggetti : l'impossibilità cioè di distinguere alla fine il valore conoscitivo delle due proposizioni A=A e A=B. Ci può essere una differenza solo se alla diversità del segno corrisponda ad una diversità del modo in cui è dato l'oggetto designato : ad es. 'x' può essere il punto di incontro di 'a' e 'b' e il punto di incontro di 'b' e 'c' al tempo stesso; tali nomi, nel mentre ci designano lo stesso oggetto, indicano anche il modo particolare con cui quest'oggetto viene dato.

Nell’analizzare la posizione di Frege partiamo dalla sua concezione dell’identità.
In primo luogo non è del tutto vero che, considerando l'identità come rapporto tra cose non ci sarebbe differenza tra A=A e A=B, dal momento che quest'ultima potrebbe benissimo essere l'identità leibniziana degli indiscernibili e cioè di due oggetti distinguibili solo per il loro ordine nello spazio e nel tempo (per cui di esse si predica il numero "due").
In secondo luogo non è del tutto vero che se A=B riguardasse solo i segni non potrebbe esprimere alcuna conoscenza. Si potrebbe infatti dire che "ciò che sinora abbiamo considerato segni per oggetti diversi si riferiscono invece alla stessa entità" : è ad es. il caso dei mistici che dicono che "Allah" e "Dio" siano lo stesso Padre del genere umano.
Frege a tal proposito associa troppo strettamente segno e convenzionalità. Ma la cultura non è la dimensione dell'arbitrio ed una volta prodotta finisce per condizionare e vincolare anche chi la produce. Verso la cultura non siamo del tutto liberi : liberarci dei pregiudizi è a volte conoscenza nel senso forte del termine.
Originariamente se il segno aveva forma diversa in qualche modo diceva una cosa diversa dell'oggetto designato (è il caso dei pittogrammi che evidenziano proprietà ed aspetti simbolici diversi degli oggetti a seconda delle civiltà che li rappresentano).
Altro poi è l'arbitrio presunto nella scelta di un segno, altro è l'arbitrio del rapporto tra segni : il primo arbitrio non presuppone affatto il secondo.

Bolzano, la verità e la dimostrazione

Bolzano argomenta poi che, non importando solo che una teoria sia corretta, ma anche che tale correttezza sia evidente, sono allora necessarie specifiche dimostrazioni.
Per dimostrazione si intende la quintessenza delle proposizioni messe insieme per rendere evidente la verità di una proposizione, e perciò è forse sciocco voler dimostrare proposizioni evidenti o più evidenti di quelle tramite le quali avverrebbe la dimostrazione.
Bolzano aggiunge che nelle discipline matematiche contenenti concetti puri, bisognerà trovare una dimostrazione che deduca una proposizione data da proposizioni concettualmente pure e ciò mediante deduzioni perfette.
Partendo dalla distinzione tra proposizioni in sè e giudizi (o asserzioni) c'è anche una distinzione tra verità in sè e conoscenze (verità conosciute).
Al pari di tutte le cose reali, le conoscenze hanno cause ed effetti. Il giudizio che oggi l'aria è meno opprimente di ieri è provocato in me dal fatto che, osservando un barometro, ho notato che la colonnina di mercurio era più bassa di ieri.
Un rapporto analogo tra le nostre conoscenze è un rapporto che vale solo tra verità in sè (con alcune che valgono da fondamenti e altre da conseguenze). Questo rapporto tra verità in sè è il nesso oggettivo. Se affermo che certe conoscenze A, B, C, D producono in noi una nuova conoscenza M, da ciò non si deve immediatamente dedurre che A, B, C, D siano fondamenti ed M la conseguenza.
Chiameremo perciò soggettivi i fondamenti meramente conoscitivi ed invece chiameremo oggettivi i fondamenti autentici.
Ad es. la conoscenza che oggi il barometro è più basso di ieri (provocando in noi la conoscenza che la pressione dell'aria è oggi inferiore a ieri) si può considerare il fondamento soggettivo di questa ulteriore conoscenza, ma non ne è il fondamento oggettivo, ed anzi, al contrario, la pressione differente dell'aria è uno dei fondamenti parziali di cui l'abbassamento della colonnina di mercurio risulta come conseguenza.
Altro esempio è che la verità che il furto non è permesso è fondata oggettivamente sulle due verità che non è permesso nulla che turbi il bene comune e che il bene comune è turbato dal furto. Non si tratta qui del solo fondamento conoscitivo, ma l'autentico fondamento effettivo, sulla base del quale il furto non è permesso.
Infine un ultimo esempio dalla matematica se "..dati due punti A e B ne esiste un terzo C che ha dai due la medesima distanza che hanno l'uno dall'altro" altrettanto evidente è che "...due cerchi devono intersecarsi se uno è disegnato a partire da A e l'altro da B ed entrambi hanno raggio AB in uno stesso piano individuato da questi punti ".
In questo caso la prima verità contiene il fondamento della seconda, ma se si guarda il mero processo conoscitivo, si può ripresentare il rapporto inverso per cui dall'osservazione che i cerchi si intersecano, si può essere indotti a pensare che esiste un terzo punto C tale che CA=CB=AB.

Se tra verità in sè esiste effettivamente un nesso oggettivo, è importante imparare a conoscerlo in particolare perchè ci si può aspettare che la conoscenza del fondamento di una verità ci mette in grado di scoprirne altre non ancora note.
Soprattutto nelle scienze di pure verità concettuali (quali la matematica) se si può presumere che A, B, C, D siano il fondamento oggettivo di M, allora partire da A, B, C, D è anche la via più breve per convincerci di M.
Perciò ogni insegnamento rigorosamente scientifico non ci deve dare solo la mera certezza delle verità da esso stabilite, ma ci fa individuare ove possibile il nesso oggettivo tra le verità. Dove una verità ha il suo fondamento, tale fondamento va dimostrato e se si risale ad una verità senza ulteriore fondamento, ma che sia fondamento di altre, si dovrà allora mostrare che e come spetti ad essa tale notevolissima proprietà
Se si riesce con la stessa considerazione che vale a convincerci della verità di una proposizione, ad intravedere anche un fondamento effettivo, evidenziando come tale verità scaturisca da altre verità già esposte, allora converrà unificare il procedimento conoscitivo e quello logico.
Le considerazioni che producono entrambi i procedimenti appartengono alle dimostrazioni (o fondazioni). Le dimostrazioni che non danno certezza (acquisita già prima) sono fondazioni. Le dimostrazioni invece che conferiscono certezza senza indicare un fondamento oggettivo si dicono accertamenti.
Già Aristotele aveva introdotto la distinzione tra dimostrazioni che mostrano che qualcosa è (oti) e dimostrazioni che mostrano perchè qualcosa è (dioti) . Aristotele diceva che autentica episteme è solo quella dove ci fossero dimostrazioni del secondo tipo, giacchè si sa soltanto quando si sia in grado di indicare il perchè (giustificazione)
Proclo poi, dice Bolzano, a tal proposito, giustamente criticava gli Epicurei dicendo che il fatto che due lati di un triangolo presi insieme sono sempre più lunghi del terzo è forse manifesto ai sensi, ma la scienza deve indicare il fondamento del perchè sia così e Leibniz aggiunge che egli cerca le dimostrazioni persino degli assiomi, mentre Ladomus asserisce che fondare ciò che è chiaro non è la geometria, ma un'altra scienza che Bolzano chiama scienza dello spazio ( la topologia ? )
Bolzano però conclude che due testi (di cui uno rende tutto chiaro e certo, l'altro che rende comprensibile ciò che è chiaro e fonda ciò che è certo) non appartengono a due scienze diverse, ma sono esposizioni di un'unica e medesima scienza.
Egli poi dice che nell'insegnamento di una scienza rigorosa, bisogna far capire ad ogni passo come la nostra via conduca ad una certa meta, bisogna che ogni volta che si introduce un nuovo concetto si riesca a far notare come è utile considerarlo, bisogna che ogniqualvolta si stabilisca una proposizione, si mostri in qual modo essa si integri con la nostra disciplina, bisogna che nei casi in cui non si possa prevedere come sarà una proposizione, si conduca il lettore a ricercare una proposizione dello stesso tipo.
Bolzano poi evidenzia i limiti di una concezione per cui, nel discorso di una scienza rigorosa, non si debba mai formulare una proposizione, prima di aver premesso tutti i fondamenti. Egli nota che l'anticipazione a volte rende edotti dello scopo per cui si esegue una certa costruzione, altrimenti tutto sembrerebbe insensato. Bisogna per Bolzano iniziare con un problema, che ci indichi qual è l'obiettivo, lo scopo. La forma del problema si può adattare anche a teorie di altro tipo, dal momento che la verità non sempre è così intuitiva.
Bolzano poi enuncia una regola per cui la verità semplice deve essere premessa della verità più complessa e a parità di complessità, la verità più generale deve essere premessa a quella più particolare. Ad es. la verità per cui aree di figure simili si comportano come i quadrati di lati omologhi, è più generale e più semplice di quella che afferma la stessa cosa solo per i triangoli. Non è lo stesso se la verità più generale e più semplice di quella che afferma la stessa cosa solo per i triangoli. Non è lo stesso se la verità più generale sia più complessa di quella particolare.
Ad es. nella proposizione:

(1+n) alla n = 1+ nx + “n([n-1]/2) PER x alla 2”+ “n([n-1]/2) PER ([n-2]/3) PER x alla 3” + ad infinitum
"n" può designare qualsiasi tipo di numero purchè x sia minore di 1.

Questa proposizione è più generale di quella che afferma l'uguaglianza solo per un esponente positivo ed intero, e tuttavia è più complessa perchè il concetto di potenza con esponente qualunque è più composto di quello di potenza con esponenti interi. Bolzano dice pure che non è facile determinare l'ordine con cui devono succedersi le diverse verità appartenenti ad un'unica e medesima scienza matematica. Per poterlo decidere, si devo anzitutto possedere perfettamente gli elementi di cui è composto ogni concetto che compare in quelle verità. Nella geometria (aggiunge Bolzano) si ponevano all'inizio del discorso proposizioni ben prima che si potessero fondare oggettivamente e quindi se ne premettevano altre che si stabilivano (ed a volte no) in sezioni successive. Così se si deve dimostrare oggettivamente anche solo la singola verità che la linea retta è la più breve tra due punti, si devono far precedere alcune centinaia di proposizioni per lo più sinora tralasciate.

Bolzano poi parlando dell'insegnamento della matematica, sottolinea l'importanza del titolo che facilita i collegamenti del lettore sia raggruppando diversi temi, sia anticipando e sunteggiando i contenuti al dettaglio.

Last but not the least, Bolzano si occupa delle dimostrazioni apagogiche, solitamente usate in matematica, considerando l'opposto contraddittorio della proposizione da dimostrare. Si cerca di dimostrare che da tale opposto contraddittorio, risulta una conclusione palesemente falsa, se vengono assunte anche certe altre proposizioni già provate come vere. E' evidente che non potrebbe venir fuori questa conclusione falsa se fossero vere tutte le premesse da cui l'abbiamo dedotta. Se dunque tutte le altre premesse sono inconfutabili, dovrà essere falso l'opposto contraddittorio della verità da dimostrare e dunque quest'ultima dovrà essere vera. Tali dimostrazioni raggiungono lo scopo della certezza, ma si è sollevata l'obiezione che non farebbero riconoscere il fondamento oggettivo della verità da dimostrare. Bolzano dice che tale accusa non è sempre giustificata anche se il fondamento oggettivo su cui poggia una verità non può mai saltarci agli occhi con chiarezza. Bolzano aggiunge che si rimprovera non senza ragione a questo tipo di dimostrazioni il fatti che essere partono da una proposizione falsa. Infatti non si deve ammettere che la considerazione del falso sia una necessità inevitabile per ottenere la conoscenza del vero, potendosi piuttosto presumere che si debba riuscire a giungere alla stessa conclusione cui ci conduce la dimopstrazione apagogica considerando verità pure. Bolzano aggiunge che le verità che devono essere scelte al posto delle proposizioni false dell'apagogia, sono in generale proposizioni che risultano da queste ultime mediante una semplificazione, tralasciando le singole parti che le rendono proposizioni false. ma sebbene la dimostrazione che evita le assunzioni false sia più semplice di quella apagogica, quest'ultima però si presenta più facile e spesso si fa formulare più brevemente della prima, visto che non sempre le idee più semplici possono essere espresse più semplicemente.

Alle tesi di Bolzano possiamo fare le seguenti osservazioni :

1. Bolzano giustamente sottolinea che alla base delle verità logiche c'è l'evidenza. Ma ciò come si concilia con la separazione della logica dalla psicologia ? Inoltre se è possibile cognitivamente (e dunque psicologicamente) passare dalla consapevolezza della verità dei teoremi a quella della verità degli assiomi (mentre ciò non è logicamente possibile), come si può radicare la logica (dove la sequenza è univoca) con la psicologia (dove la sequenza può ben essere simmetrica e biunivoca) ?
2. Bolzano distingue giustamente tra presupposti genetici e presupposti validativi, tra certezza soggettiva e verità oggettiva, tra verificazioni e fondazioni, tra scienza e filosofia (logica)
3. Bolzano da un lato dice che, una volta raggiunto il livello fondativo, la procedura fondativa si rivela essere anche quello didatticamente, retoricamente e cognitivamente più semplice e conveniente. D'altro canto ribadisce la preferibilità pragmatica di un procedimento zetetico (basato sul partire da problemi)
4. Le dimostrazioni sono le procedure che al contempo indicano un fondamento oggettivo e danno certezza. Le fondazioni indicano un fondamento oggettivo ma non danno certezza (forse perchè il loro procedimento è un porre formalistico ed assiomatico che non si occupa del valore di verità delle premesse). Le verificazioni (accertamenti) danno certezza, ma non indicano un fondamento oggettivo.
5. Probabilmente le potenze con esponente qualunque non sono più complesse delle potenze con esponente intero, dal momento che un numero maggiore di segni (ricompreso dalla variabile) può ben essere inversamente proporzionale alla complessità del concetto. La variabile riferendosi a tutti gli esemplari può denotare le proprietà comuni a tutti gli esemplari, proprietà che non sono sicuramente maggiori a quelle possedute da ciascun esemplare individualmente considerato.
6. Infine Bolzano si dimostra consapevole della rilevanza dialettica e del carattere problematico delle dimostrazioni apagogiche e di quelle per assurdo. Tuttavia non articola un modello che eviti la necessità di partire da proposizioni che si dimostreranno false, per quanto ne dichiari la possibilità e l'opportunità.