Concetto e rappresentazione in Frege

G.Frege nel saggio "Concetto e rappresentazione"(1891) critica il fatto che spesso si confondano appunto il concetto, caratterizzato da una validità ed un carattere oggettivo e la rappresentazione, che invece ha come caratteristica prima la soggettività.
Frege dice che :

Il concetto è un tema ed uno strumento della logica. Non è necessario che risulti privo di contraddizioni. L'importante è che sia ben delimitato. Infatti, ciò che non rivela una precisa delimitazione non è riconoscibile in logica come concetto.
Lo scopo che in qualunque scienza deve guidarci alla formazione di una sua lingua tecnica è di riuscire ad enunciare le leggi di tale scienza nella forma più semplice possibile e pure assolutamente esatta.
Per il concetto logico rigorosamente inteso non esiste alcuno sviluppo, alcuna storia. Più che di"evoluzione storica di un concetto" si deve parlare di "storia della comprensione di un concetto". Il concetto infatti è qualcosa di oggettivo che non viene costruito per opera nostra, ma è qualcosa che noi possiamo solo cercare di afferrare.
La proposizione "Il numero 3 cade sotto il concetto di numero primo" costituisce una verità oggettiva indipendente dalla rappresentazione che noi ci facciamo di essa, dal nostro stato psicologico, dal fatto che esisteranno o meno esseri coscienti che riconosceranno tale verità.

Una contraddizione insita in un concetto non costituisce affatto un motivo per il suo sviluppo : il concetto "disuguale da se stesso" contiene una contraddizione e ciò malgrado non muta, ma rimane quel che è. E' un concetto logico la cui delimitazione è precisa e può essere usato per la definizione del numero "zero".
Anche nel caso del movimento non sono contraddizioni insite nel suo concetto quelle che ci spingono a trasformarlo. Certamente si rivelarono in esso contraddizioni, ma non perchè nella definizione di movimento risultino riunite caratteristiche che si contraddicono a vicenda, bensì perchè si è considerato come concetto qualcosa che non lo è, mancando di precisa delimitazione. Furono le contraddizioni a spingere la ricerca; ma non contraddizioni insite nel concetto, perchè queste portano sempre una delimitazione precisa (nulla può cadere sotto un concetto contraddittorio) . Ciò che spinge la ricerca è il percepire che vi è una delimitazione confusa.
Così anche nel caso del movimento, tutti gli sforzi furono diretti a cercare una delimitazione precisa del suo concetto. Essi risultarono vani, perchè non esiste demarcazione in quella direzione e se ne è quindi scoperta un'altra non tra moto e quiete, ma tra moto inerziale e quiete inerziale.
Il termine rappresentazione va invece attribuito alla psicologia. Non si può parlare di una rappresentazione senza specificare chi ne sia il portatore, giacchè la rappresentazione di un soggetto è sempre diversa da quella di un altro.

Le tesi di Frege sono interessanti e colgono aspetti nodali del pensiero.
Esse hanno a che fare con i rapporti tra platonismo ed hegelismo : quali sono i rapporti tra le idee ? C'è un movimento ? C'è uno sviluppo ? Qual è il rapporto tra Idea e Concetto ? Tra in-sè e per-sè ?
Ma c'è un rapporto anche con la tematica sviluppata da Putnam e Kripke su i designatori rigidi (si veda la questione di "oro" o di "H2O"). Riguardo a questa questione si può ipotizzare che c'è un nome a cui possono corrispondere diversi sensi, ma questi sensi sono ben delimitati e sono relazionati ed inviluppati gli uni negli altri grazie al fatto che cadono sotto lo stesso nome.
Le tesi di Frege sono una critica indiretta all'hegelismo : mentre per Hegel il logico non ha un rapporto meramente estrinseco con lo storico (e dunque con l'empirico, l'estetico e lo psichico) , per Frege bisogna distinguere nettamente i due ambiti. Frege è a buon titolo un platonista : il concetto contraddittorio è pur sempre un concetto definito. E come tale non può cambiare, nè deve farlo.
Per l'hegelismo invece il concetto contraddittorio, in quanto tale genera il cambiamento. E' difficile dire chi dei due indirizzi valorizzi più la contraddizione.
L'hegelismo ne fa qualcosa di fecondo ma proprio per il fatto che non può reggersi su se stessa. Frege fa l'esatto opposto. Il suo approccio per certi versi sembra più rispettoso per la contraddizione in sè considerata. Tuttavia l'esempio che egli fa dello zero come "diseguale da se stesso" è alla base di uno sviluppo che porta poi all'uno ed alla serie numerica, per cui la posizione hegeliana mantiene un suo fascino ed una sua plausibilità. Frege pensa alla distinzione tra i singoli fotogrammi di una pellicola, l'hegelismo allo scorrere della pellicola stessa, che mette in un continuum temporale i singoli fotogrammi. Un problema per Frege è come si concilia la sua posizione con il fatto che vi sono concetti non immediatamente contraddittori, concetti che possono avere una contraddizione tra le loro note caratteristiche e dunque non immediatamente evidenti

A mio parere, c'è un livello ontologico ideale dove le idee sono tutte distinte tra loro ed immutabili e dove anche la contraddizione ha una sua consistenza propria. C'è poi un livello storico-epistemico dove le idee si trasformano reciprocamente e dove le contraddizioni fanno da motore del divenire. Tale secondo livello è solo fenomenologico e conoscitivo, dal momento che anche le relazioni tra concetti sono date ab aeterno. Tuttavia la verità dell'approccio storico è che esso ci impedisce di considerare dato una volta e per tutte (in un istante interno alla dimensione temporale)il contenuto di un concetto. Per cui l'evoluzione della nostra conoscenza di un concetto non ha in linea di principio nessun termine, per cui lo stesso concetto è inattingibile in maniera completa al soggetto conoscente.
Perciò è problematica anche l'esatta delimitazione del concetto, processo che può appunto essere infinito, che ha a che fare con la questione delle antinomie e del carattere a volte occulto delle contraddizioni in un sistema.
Insomma, c'è armonia tra carattere oggettivo ed extramentale del concetto e la sua delimitazione ? O l'oggettività (la realtà) ha a che fare con la vaghezza ?

Inoltre per quanto riguarda la lingua tecnica di una scienza, Frege trascura il fatto che oltre a semplicità ed esattezza, esiste un'altra variabile trascurata ed è la comprensibilità, la traducibilità che a prima vista sembra andare nella direzione opposta a quella delle prime due variabili considerate. Ma è un problema che va affrontato.

Quanto alla questione della rappresentazione, Frege ha ragione a difendere l'oggettività di "Il numero 3 cade sotto il concetto di numero primo", ma la domanda se a tale concetto corrispondano rappresentazioni analoghe anche in altri soggetti mantiene la sua importanza anche dal punto di vista puramente cognitivo.
Anche l'attribuzione esclusiva della rappresentazione al campo psicologico è un estremo. Che ne è allora dell'aspetto geometrico rappresentativo della matematica (non ci si riferisce alla disciplina analiticamente intesa, ma alla modalità di espressione di un certo sapere che sino alla geometria analitica coincideva in buona parte con la disciplina stessa)? Che ne è della rappresentazione geometrica del numero ? Che ne è del modello, concetto così importante per la matematica e le sue applicazioni ? Il modello è un concetto o una rappresentazione ? E quale rapporto ci può essere tra concetto e rappresentazione se i due livelli, i due piani sono così distinti ?
Frege dice che intendiamo per "rappresentazione" un'immagine interna. Ma cosa vuol dire "interno" ? Anche Frege (nel voler rendere soggettiva la rappresentazione) cade nel tranello dell'"interiorità". questa chimera dall'intenzione spirituale, ma dai presupposti rigidamente materialistici (in tal senso la fenomenologia, con la sua epochè, con il suo sguardo sulle datità, può essere un antidoto efficace)
Comunque sulla rappresentazione Frege dice cose interessanti : la prima che nella rappresentazione è essenziale chi la possegga, tesi discutibile, ma che anticipa profeticamente il rientro del soggetto anche nella filosofia analitica. La seconda che non si può parlare di rappresentazione senza riferirla a qualcosa (rappresentazione di...) : questa è un'ammissione circa il carattere intenzionale di molti oggetti del pensiero e di molte operazioni della mente.

Meinong e la filosofia

Meinong nella sua Autopresentazione dice che nonostante il fatto che abbia fatto valere i diritti del lato extraempirico del conoscere, rivendica a se stesso il nome di empirista. Egli dice giustamente che anche la definizione delle altre scienze non è per niente sistemata e forse l'urgenza di tale predefinizione è legata più al carattere riflessivo della filosofia, tanto legato ai principi del proprio procedere.

Per Meinong la filosofia deve comprendere più scienze (che vengono chiamate filosofiche), la caratteristica di queste scienze è che tutte hanno vissuti interni per oggetto (chi esclusivamente, chi assieme ad altri), mentre psicologia , teoria della conoscenza, logica, etica e pedagogia hanno come oggetti solo vissuti interni; la metafisica ha come oggetti non solo, ma anche dei vissuti interni. Dal punto di vista metafisico Meinong si ritiene realista, mentre dal punto di vista della teoria dell'oggetto un idealista. La teoria dell'oggetto comprende in sè anche gli oggetti psichici, ma nel suo essere indifferente all'esistenza ed alla non-esistenza, essa non può essere costruita sulla psicologia. Quest'ultima senza una tesi filosofica psicologista non può avere la preminenza sulle altre ed anzi conferisce forse forza ad antiche tendenze che vogliono limitare l'ambito della filosofia, escludendo la psicologia. Invece quest'ultima, nonostante la sua tendenza a diventare disciplina sperimentale, mantiene un rapporto con altre discipline filosofiche.

Letesi qui esposte da Meinong sono interessanti : Ma più che empirista egli non si può considerare un fenomenologo ?

Inoltre in cosa si differenziano tra loro le scienze che hanno come oggetti esclusivamente dei vissuti interni ? Ed in che senso la logica tratta esclusivamente di vissuti interni ? E la teoria della conoscenza ?

Comunque Meinong fa bene a problematizzare la natura e l'ambito della psicologia, togliendolo dall'ambito ontologicamente limitato in cui lo destina il sistema positivistico delle scienze.

La teoria dell'oggetto di Twardowski

Twardowski affronta poi il tema del concetto di oggetto e cita Kant quando dice che il più alto concetto è il concetto di oggetto in generale (che si divide in possibile ed impossibile). Kant però dice anche che tale oggetto può essere qualcosa o niente e Twardowski contesta tale asserzione in quanto considera "niente" non come un oggetto, ma come un'espressione sincategorematica : "niente" significa il limite del rappresentare, dove cioè il rappresentare stesso cessa di essere tale.

Alle ragioni già addotte, Twardowski aggiunge riguardo a questa concezione del "niente" che se un oggetto è rappresentato da una rappresentazione, giudicato tramite un giudizio, desiderato tramite un desiderio, se "niente" fosse l'oggetto di una rappresentazione, potrebbe essere affermato o negato. Ma, afferma Twardowski, non si può dire nè "niente esiste", nè "niente non esiste". Quando si usano certe locuzioni, o si intende qualcosa di diverso (es. il Nirvana) o l'espressione "niente" rivela la sua natura sincategorematica (es. "non c'è niente" = "non c'è qualcosa di reale al di fuori del soggetto di rappresentazione").

Chi dice di rappresentarsi "niente" in realtà non si rappresenta affatto. Chi invece rappresenta, si rappresenta qualcosa, cioè un oggetto.

Twardowski poi discute la tesi di Kerry per cui Kant usa in modo ambiguo il termine "oggetto" che definisce una volta come qualcosa di reale che eccita sensi e animo e talvolta come l'oggetto di un concetto. Twardowski osserva che l'oggetto di rappresentazioni, giudizi, sentimenti, è distinto dalla cosa in sè, intesa come causa sconosciuta che eccita i sensi.

"Oggetto" è sinonimo di fenomeno o apparenza a prescindere da cosa tale apparenza sia generata. Per mezzo di ogni rappresentazione, è rappresentato qualcosa sia che esista o no, sia che si mostri indipendentemente da noi o sia formato da noi nell'immaginazione.

Un oggetto è in quanto noi lo rappresentiamo in opposizione a noi ed alla nostra attività di rappresentazione. La realtà di un oggetto non ha niente a che fare con la sua esistenza.

Per alcuni un albero, un'afflizione, un tono acuto, un movimento sono oggetti reali, mentre una mancanza, un'assenza e una possibilità sono oggetti non-reali. anche un oggetto non reale può esistere quando si dice "C'è mancanza di denaro".

E' assolutamente possibile parlare ora di "oggetto reale" ora dell'oggetto di un concetto (e dunque non reale) poichè gli oggetti, essendo suddivisibili in esistenti e non-esistenti, da una parte sono reali e da una parte non-reali.

Twardowski poi dice che "oggetto" non deve essere confuso con "fatti" o "cose", che sono solo categorie appartenenti a ciò che è rappresentabile, cioè solo una categoria interna a quella più vasta degli oggetti: una "caduta mortale", non è una cosa, ma è un oggetto.

Tutto ciò che è nominato è un oggetto

Dunque, conclude Twardowski, l'oggetto è il genere sommo

tutto ciò che è

è oggetto di un possibile atto di rappresentazione

è cioè 'qualcosa'.

Qui si passa dalla psicologia alla metafisica : il fatto che l'aristotelico on (medievale ens) non sia altro che l'oggetto della rappresentazione, lo dimostra il fatto che tutte le dottrine formulate intorno all'ens valgono per l'oggetto della rappresentazione.

Dunque per Twardowski :

• L'oggetto è diverso dall'esistente e solo ad alcuni oggetti (oltre all'oggettualità/essentia) spetta anche l'esistenza. Ci sono infatti ens solo possibili, ma è un oggetto anche ciò che non potrebbe mai esistere (ens rationis), quale potrebbe essere un numero. In breve è oggetto tutto ciò che è qualcosa, che non è niente (per gli Scolastici ens e aliquid sono sinonimi).
• L'oggetto è summus genus. Gli Scolastici dicono che ens non è un concetto di genere tra gli altri, ma un concetto trascendentale perchè trascende tutti i generi.
• Ogni oggetto di una rappresentazione può essere oggetto di un giudizio e oggetto dell'attività dell'animo (desiderio etc.) . La verità metafisica di un oggetto non consiste nell'essere giudicato mediante un giudizio logicamente vero. Altrettanto poco la sua bontà dipende dal fatto che il sentimento verso di esso è buono. Vero si dice un oggetto in quanto è oggetto di un giudizio. Buono lo si dice in quanto ad esso si riferisce un atto dell'animo.
• Non sempre la Scolastica si è attenuta a tale significato : ad es. Tommaso parla della verità come corrispondenza tra intellectus e res, e la verità di un oggetto come cognoscibilitas. Tuttavia rivediamo tale concezione quando lo stesso Tommaso parla del verum come ciò verso cui tende il desiderio. e poichè ogni oggetto di rappresentazione può essere sottomesso a giudizio o desiderio, allora verità e bontà appartengono ad ogni oggetto di rappresentazione e la dottrina scolastica si dimostra corretta quando dice che ogni ens è tanto bonum quanto verum.
• Si potrebbe sollevare la questione se all'oggetto non appartenga in maniera analoga un attributo che esprima la sua rappresentabilità e che sia un nome per l'oggetto in quanto rappresentato. La filosofia medievale, oltre verum e bonum, conosce unum che ha uno specifico rapporto con la rappresentazione.
• Se l'oggetto di rappresentazioni, giudizi e sentimenti non è nient'altro che l'ens aristotelico-scolastico : la metafisica deve essere definita come la scienza degli oggetti in generale. Nelle singole scienze ci si limita ad un gruppo più o meno ampio di oggetti con riguardo a scopi specifici. Le scienze naturali si occupano delle proprietà dei corpi, mentre la psicologia dei fenomeni psichici. La metafisica infine prende in considerazione tutti gli oggetti fisici e psichici, reali e non reali, esistenti e non-esistenti e ricerca le leggi a cui obbediscono gli oggetti in generale. Gli Scolastici dicevano che la metafisica è la scienza dell'Essere
• Dunque chiamasi oggetto tutto ciò che è rappresentato per mezzo di una rappresentazione, affermato o negato mediante un giudizio, desiderato o detestato mediante un moto dell'animo. Gli oggetti sono reali o non-reali, possibili o impossibili, esistenti o non-esistenti. Essi possono essere oggetto di atti psichici, sono dotati di una designazione linguistica che è il nome, formano il summus genus che trova la sua espressione linguistica nel "qualcosa". Tutto ciò che in senso ampio è "qualcosa" si chiama "oggetto", in relazione al soggetto della rappresentazione, ma anche indipendentemente da esso.

Su queste tesi di Twardowski vale la pensa dire che :

1. La tesi di Kant sembra riecheggiare Parmenide (anche se Parmenide escludeva l'impossibile dall'Essere) ed anticipare le tesi di Meinong (quelle sull'extra-essere).
2. Il Niente è un oggetto contraddittorio che nega anche un livello basico di esistenza e perciò si trova solo al livello basico di esistenza (dove ci sono anche oggetti descritti da proposizioni contraddittorie) . 'Niente' indica l'assenza ad un livello di esistenza (o addirittura in un contesto di presenza) di un intera classe di individui analoghi (come nel caso: "Prendi il giravite dallo scatolo" con risposta "Qui non c'è niente" cioè "non c'è nessun elemento della classe degli giravite"). Il Niente può definire anche l'assenza di un qualsiasi oggetto ad un certo livello di esistenza, ma in tal caso seppure non contraddittorio esso è appartenente solo al livello ideale di esistenza.
3. Se qualcosa si forma dalla nostra immaginazione non si tratta di mero contenuto ? O si tratta di oggetto ipotetico ? E un oggetto ipotetico è un oggetto o è solo il nome di un contenuto la cui corrispondenza con un oggetto viene asserita (cioè accompagnata da una credenza) ? Gli oggetti a cui si riferisce la teoria degli oggetti non sono in realtà contenuti ?
4. Come la teoria degli oggetti di Meinong, la tesi di Twardowski è una forma di fenomenologia senza epoché. Essa è analoga alla mia teoria dei diversi livelli di esistenza. La tesi degli oggetti non-reali che tuttavia possono esistere è analoga a quella del massimo livello proprio di esistenza. Possiamo definire 'reali' gli oggetti il cui massimo livello di esistenza è quello fisico-empirico e non-reali gli oggetti il cui massimo livello di esistenza è più astratto di quello fisico-empirico. La "mancanza di denaro" sussiste, ma non esiste : essa cioè non è un oggetto esistente al livello empirico di esistenza, ma, quando sussiste, esiste al suo massimo livello di esistenza.
5. Se tutto ciò che è nominato è un oggetto, anche "minollo" (nome senza senso) è un oggetto che ha solo un livello basico di esistenza.
6. Un sostantivo è un nome. Un espressione sostantivata è una descrizione, un sinn, un contenuto, un'apposizione, una stringa tra virgolette.
7. Giusto il tentativo di Twardowski di unificare oggetto ed ens, solo che il termine "oggetto" è troppo legato al soggetto pratico-conoscitivo. Altrettanto giusto vedere nell' ente il summus genus, come pure il vedere una verità, una bontà ed una bellezza dell'oggetto a prescindere dalla valutazione (ma questo è più il panteismo di Spinoza che non la Scolastica). Problematico invece è il tentativo di collegare l'unità dell'oggetto con la sua rappresentabilità (questa è prova dell'unità ma non equivale ad essa). La definizione di metafisica fa sì che essa equivalga alla teoria generale degli oggetti di Meinong (la scienza dell'Essere degli Scolastici) . Infine rappresentazione e giudizio non si possono separare nettamente.

Bolzano, la verità e la dimostrazione

Bolzano argomenta poi che, non importando solo che una teoria sia corretta, ma anche che tale correttezza sia evidente, sono allora necessarie specifiche dimostrazioni.
Per dimostrazione si intende la quintessenza delle proposizioni messe insieme per rendere evidente la verità di una proposizione, e perciò è forse sciocco voler dimostrare proposizioni evidenti o più evidenti di quelle tramite le quali avverrebbe la dimostrazione.
Bolzano aggiunge che nelle discipline matematiche contenenti concetti puri, bisognerà trovare una dimostrazione che deduca una proposizione data da proposizioni concettualmente pure e ciò mediante deduzioni perfette.
Partendo dalla distinzione tra proposizioni in sè e giudizi (o asserzioni) c'è anche una distinzione tra verità in sè e conoscenze (verità conosciute).
Al pari di tutte le cose reali, le conoscenze hanno cause ed effetti. Il giudizio che oggi l'aria è meno opprimente di ieri è provocato in me dal fatto che, osservando un barometro, ho notato che la colonnina di mercurio era più bassa di ieri.
Un rapporto analogo tra le nostre conoscenze è un rapporto che vale solo tra verità in sè (con alcune che valgono da fondamenti e altre da conseguenze). Questo rapporto tra verità in sè è il nesso oggettivo. Se affermo che certe conoscenze A, B, C, D producono in noi una nuova conoscenza M, da ciò non si deve immediatamente dedurre che A, B, C, D siano fondamenti ed M la conseguenza.
Chiameremo perciò soggettivi i fondamenti meramente conoscitivi ed invece chiameremo oggettivi i fondamenti autentici.
Ad es. la conoscenza che oggi il barometro è più basso di ieri (provocando in noi la conoscenza che la pressione dell'aria è oggi inferiore a ieri) si può considerare il fondamento soggettivo di questa ulteriore conoscenza, ma non ne è il fondamento oggettivo, ed anzi, al contrario, la pressione differente dell'aria è uno dei fondamenti parziali di cui l'abbassamento della colonnina di mercurio risulta come conseguenza.
Altro esempio è che la verità che il furto non è permesso è fondata oggettivamente sulle due verità che non è permesso nulla che turbi il bene comune e che il bene comune è turbato dal furto. Non si tratta qui del solo fondamento conoscitivo, ma l'autentico fondamento effettivo, sulla base del quale il furto non è permesso.
Infine un ultimo esempio dalla matematica se "..dati due punti A e B ne esiste un terzo C che ha dai due la medesima distanza che hanno l'uno dall'altro" altrettanto evidente è che "...due cerchi devono intersecarsi se uno è disegnato a partire da A e l'altro da B ed entrambi hanno raggio AB in uno stesso piano individuato da questi punti ".
In questo caso la prima verità contiene il fondamento della seconda, ma se si guarda il mero processo conoscitivo, si può ripresentare il rapporto inverso per cui dall'osservazione che i cerchi si intersecano, si può essere indotti a pensare che esiste un terzo punto C tale che CA=CB=AB.

Se tra verità in sè esiste effettivamente un nesso oggettivo, è importante imparare a conoscerlo in particolare perchè ci si può aspettare che la conoscenza del fondamento di una verità ci mette in grado di scoprirne altre non ancora note.
Soprattutto nelle scienze di pure verità concettuali (quali la matematica) se si può presumere che A, B, C, D siano il fondamento oggettivo di M, allora partire da A, B, C, D è anche la via più breve per convincerci di M.
Perciò ogni insegnamento rigorosamente scientifico non ci deve dare solo la mera certezza delle verità da esso stabilite, ma ci fa individuare ove possibile il nesso oggettivo tra le verità. Dove una verità ha il suo fondamento, tale fondamento va dimostrato e se si risale ad una verità senza ulteriore fondamento, ma che sia fondamento di altre, si dovrà allora mostrare che e come spetti ad essa tale notevolissima proprietà
Se si riesce con la stessa considerazione che vale a convincerci della verità di una proposizione, ad intravedere anche un fondamento effettivo, evidenziando come tale verità scaturisca da altre verità già esposte, allora converrà unificare il procedimento conoscitivo e quello logico.
Le considerazioni che producono entrambi i procedimenti appartengono alle dimostrazioni (o fondazioni). Le dimostrazioni che non danno certezza (acquisita già prima) sono fondazioni. Le dimostrazioni invece che conferiscono certezza senza indicare un fondamento oggettivo si dicono accertamenti.
Già Aristotele aveva introdotto la distinzione tra dimostrazioni che mostrano che qualcosa è (oti) e dimostrazioni che mostrano perchè qualcosa è (dioti) . Aristotele diceva che autentica episteme è solo quella dove ci fossero dimostrazioni del secondo tipo, giacchè si sa soltanto quando si sia in grado di indicare il perchè (giustificazione)
Proclo poi, dice Bolzano, a tal proposito, giustamente criticava gli Epicurei dicendo che il fatto che due lati di un triangolo presi insieme sono sempre più lunghi del terzo è forse manifesto ai sensi, ma la scienza deve indicare il fondamento del perchè sia così e Leibniz aggiunge che egli cerca le dimostrazioni persino degli assiomi, mentre Ladomus asserisce che fondare ciò che è chiaro non è la geometria, ma un'altra scienza che Bolzano chiama scienza dello spazio ( la topologia ? )
Bolzano però conclude che due testi (di cui uno rende tutto chiaro e certo, l'altro che rende comprensibile ciò che è chiaro e fonda ciò che è certo) non appartengono a due scienze diverse, ma sono esposizioni di un'unica e medesima scienza.
Egli poi dice che nell'insegnamento di una scienza rigorosa, bisogna far capire ad ogni passo come la nostra via conduca ad una certa meta, bisogna che ogni volta che si introduce un nuovo concetto si riesca a far notare come è utile considerarlo, bisogna che ogniqualvolta si stabilisca una proposizione, si mostri in qual modo essa si integri con la nostra disciplina, bisogna che nei casi in cui non si possa prevedere come sarà una proposizione, si conduca il lettore a ricercare una proposizione dello stesso tipo.
Bolzano poi evidenzia i limiti di una concezione per cui, nel discorso di una scienza rigorosa, non si debba mai formulare una proposizione, prima di aver premesso tutti i fondamenti. Egli nota che l'anticipazione a volte rende edotti dello scopo per cui si esegue una certa costruzione, altrimenti tutto sembrerebbe insensato. Bisogna per Bolzano iniziare con un problema, che ci indichi qual è l'obiettivo, lo scopo. La forma del problema si può adattare anche a teorie di altro tipo, dal momento che la verità non sempre è così intuitiva.
Bolzano poi enuncia una regola per cui la verità semplice deve essere premessa della verità più complessa e a parità di complessità, la verità più generale deve essere premessa a quella più particolare. Ad es. la verità per cui aree di figure simili si comportano come i quadrati di lati omologhi, è più generale e più semplice di quella che afferma la stessa cosa solo per i triangoli. Non è lo stesso se la verità più generale e più semplice di quella che afferma la stessa cosa solo per i triangoli. Non è lo stesso se la verità più generale sia più complessa di quella particolare.
Ad es. nella proposizione:

(1+n) alla n = 1+ nx + “n([n-1]/2) PER x alla 2”+ “n([n-1]/2) PER ([n-2]/3) PER x alla 3” + ad infinitum
"n" può designare qualsiasi tipo di numero purchè x sia minore di 1.

Questa proposizione è più generale di quella che afferma l'uguaglianza solo per un esponente positivo ed intero, e tuttavia è più complessa perchè il concetto di potenza con esponente qualunque è più composto di quello di potenza con esponenti interi. Bolzano dice pure che non è facile determinare l'ordine con cui devono succedersi le diverse verità appartenenti ad un'unica e medesima scienza matematica. Per poterlo decidere, si devo anzitutto possedere perfettamente gli elementi di cui è composto ogni concetto che compare in quelle verità. Nella geometria (aggiunge Bolzano) si ponevano all'inizio del discorso proposizioni ben prima che si potessero fondare oggettivamente e quindi se ne premettevano altre che si stabilivano (ed a volte no) in sezioni successive. Così se si deve dimostrare oggettivamente anche solo la singola verità che la linea retta è la più breve tra due punti, si devono far precedere alcune centinaia di proposizioni per lo più sinora tralasciate.

Bolzano poi parlando dell'insegnamento della matematica, sottolinea l'importanza del titolo che facilita i collegamenti del lettore sia raggruppando diversi temi, sia anticipando e sunteggiando i contenuti al dettaglio.

Last but not the least, Bolzano si occupa delle dimostrazioni apagogiche, solitamente usate in matematica, considerando l'opposto contraddittorio della proposizione da dimostrare. Si cerca di dimostrare che da tale opposto contraddittorio, risulta una conclusione palesemente falsa, se vengono assunte anche certe altre proposizioni già provate come vere. E' evidente che non potrebbe venir fuori questa conclusione falsa se fossero vere tutte le premesse da cui l'abbiamo dedotta. Se dunque tutte le altre premesse sono inconfutabili, dovrà essere falso l'opposto contraddittorio della verità da dimostrare e dunque quest'ultima dovrà essere vera. Tali dimostrazioni raggiungono lo scopo della certezza, ma si è sollevata l'obiezione che non farebbero riconoscere il fondamento oggettivo della verità da dimostrare. Bolzano dice che tale accusa non è sempre giustificata anche se il fondamento oggettivo su cui poggia una verità non può mai saltarci agli occhi con chiarezza. Bolzano aggiunge che si rimprovera non senza ragione a questo tipo di dimostrazioni il fatti che essere partono da una proposizione falsa. Infatti non si deve ammettere che la considerazione del falso sia una necessità inevitabile per ottenere la conoscenza del vero, potendosi piuttosto presumere che si debba riuscire a giungere alla stessa conclusione cui ci conduce la dimopstrazione apagogica considerando verità pure. Bolzano aggiunge che le verità che devono essere scelte al posto delle proposizioni false dell'apagogia, sono in generale proposizioni che risultano da queste ultime mediante una semplificazione, tralasciando le singole parti che le rendono proposizioni false. ma sebbene la dimostrazione che evita le assunzioni false sia più semplice di quella apagogica, quest'ultima però si presenta più facile e spesso si fa formulare più brevemente della prima, visto che non sempre le idee più semplici possono essere espresse più semplicemente.

Alle tesi di Bolzano possiamo fare le seguenti osservazioni :

1. Bolzano giustamente sottolinea che alla base delle verità logiche c'è l'evidenza. Ma ciò come si concilia con la separazione della logica dalla psicologia ? Inoltre se è possibile cognitivamente (e dunque psicologicamente) passare dalla consapevolezza della verità dei teoremi a quella della verità degli assiomi (mentre ciò non è logicamente possibile), come si può radicare la logica (dove la sequenza è univoca) con la psicologia (dove la sequenza può ben essere simmetrica e biunivoca) ?
2. Bolzano distingue giustamente tra presupposti genetici e presupposti validativi, tra certezza soggettiva e verità oggettiva, tra verificazioni e fondazioni, tra scienza e filosofia (logica)
3. Bolzano da un lato dice che, una volta raggiunto il livello fondativo, la procedura fondativa si rivela essere anche quello didatticamente, retoricamente e cognitivamente più semplice e conveniente. D'altro canto ribadisce la preferibilità pragmatica di un procedimento zetetico (basato sul partire da problemi)
4. Le dimostrazioni sono le procedure che al contempo indicano un fondamento oggettivo e danno certezza. Le fondazioni indicano un fondamento oggettivo ma non danno certezza (forse perchè il loro procedimento è un porre formalistico ed assiomatico che non si occupa del valore di verità delle premesse). Le verificazioni (accertamenti) danno certezza, ma non indicano un fondamento oggettivo.
5. Probabilmente le potenze con esponente qualunque non sono più complesse delle potenze con esponente intero, dal momento che un numero maggiore di segni (ricompreso dalla variabile) può ben essere inversamente proporzionale alla complessità del concetto. La variabile riferendosi a tutti gli esemplari può denotare le proprietà comuni a tutti gli esemplari, proprietà che non sono sicuramente maggiori a quelle possedute da ciascun esemplare individualmente considerato.
6. Infine Bolzano si dimostra consapevole della rilevanza dialettica e del carattere problematico delle dimostrazioni apagogiche e di quelle per assurdo. Tuttavia non articola un modello che eviti la necessità di partire da proposizioni che si dimostreranno false, per quanto ne dichiari la possibilità e l'opportunità.